Порядок из хаоса

Хотя «возраст» системы (т. е. соответствующее разбиение) нам известен, мы тем не менее не можем сопоставить ему однозначно определенную локальную траекторию. Мы знаем лишь, что система находится где-то в заштрихованной части квадрата (см. рис. 39). Аналогичным образом, если известны точные начальные условия, соответствующие какой-то точке системы, то мы не знаем ни разбиения, которому она принадлежит, ни возраста системы. Следовательно, для таких систем существуют два взаимодополнительных описания. Ситуация здесь несколько напоминает ту, с которой мы уже встречались в гл. 7 при рассмотрении квантовой механики.

Существование новой альтернативы — нелокального описания — открывает перед нами путь к переходу от динамики к вероятностям. Системы, для которых такой переход возможен, мы называем внутренне случайными системами.

В классических детерминистических системах мы можем говорить о вероятностях перехода из одной точки в другую лишь в весьма вырожденном смысле: вероятность перехода равна единице, если две точки лежат на одной динамической траектории, и нулю, если они не лежат на одной траектории.

В настоящей вероятностной теории нам понадобятся вероятности, принимающие, к отличие от вероятностей типа «нуль—единица», любые значения от пуля до единицы. Как такое возможно? Здесь перед нами во весь рост встает конфликт между субъективистскими взглядами на вероятность и ее объективными интерпретациями. Субъективная интерпретация соответствует случаю, когда отдельные траектории неизвестны. Вероятность (и в конечном счете связанная с ней необратимость) при таком подходе имеет своим истоком наше незнание. К счастью, существует другая, объективная интерпретация: вероятность возникает в результате альтернативного описания динамики, нелокального описания, возможного лишь для сильно неустойчивых динамических систем.

При таком подходе вероятность становится объективным свойством, порождаемым, так сказать, внутри динамики и отражающим фундаментальную структуру динамической системы. Мы уже подчеркивали важность основного открытия Больцмана — установления связи между энтропией и вероятностью. Для внутренне случайных систем понятие вероятности обретает динамический смысл. Теперь нам необходимо совершить переход от внутренне случайных систем к необратимым системам. Как мы уже знаем, неустойчивые динамические процессы порождают по две цепи Маркова.

Взглянем на эту двойственность с другой точки зрения. Рассмотрим распределение, сосредоточенное не на всей поверхности квадрата, а на отрезке прямой. Отрезок может быть вертикальным или горизонтальным. Выясним, что произойдет с этим отрезком под действием «преобразований пекаря», обращенных в будущее. Результат их показан на рис. 40: вертикальный отрезок рассекается на части и в далеком будущем стягивается в точку. Наоборот, горизонтальный отрезок при каждом «преобразовании пекаря» удваивается, и в далеком будущем его образы («копии») равномерно покроют весь квадрат. Ясно, что при движении вспять во времени (в прошлое) наблюдается обратная картина. По очевидным причинам вертикальный отрезок называется сжимающимся, а горизонтальный — растягивающимся слоем.

Рис. 40. Сжатие и растяжение слоев при «преобразовании пекаря». Со временем сжимающийся слой А₁ сокращается (последовательные этапы сокращения обозначены А₁, В₁, C₁). Растягивающиеся слои удваиваются (последовательные этапы удвоения обозначены А₂, В₂, С₂).

Мы видим, что аналогия с теорией бифуркаций полная. Сжимающийся слой и растягивающийся слой соответствуют двум реализациям динамики, каждая из которых связана с нарушением симметрии и появлением несимметричных режимов парами. Сжимающийся слой отвечает равновесному состоянию в далеком будущем, растягивающийся — в далеком прошлом. Мы получаем, таким образом, две цепи Маркова с противоположной ориентацией во времени.