Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

На рисунке 21.3 показано, куда функция Li отображает первые 10 точек, изображенных на рисунке 21.2. Другими словами, (точнее, ее отрезок от ¹/ ₂+ 14 iдо ¹/ ₂+ 50 i). Как видно, эта функция отображает критическую прямую в спираль, идущую против часовой стрелки и приближающуюся к числу iпо мере того, как аргумент взбирается вверх по критической прямой. Там, где функция 20 ^zбесконечно много раз наматывала и наматывала критическую прямую на окружность радиуса 20, применение функции Li разматывает ее в изящную спираль; на ней по-прежнему нарисованы точки, изображающие нули.

Рисунок 21.3.Функция Li(20 ^z) для отрезка критической прямой.

VI.

Теперь примемся за знак сигмы, где надо суммировать эти точки (каждая из которых — просто комплексное число) по всем возможным нетривиальным нулям дзета-функции. Для этого сначала вспомним один момент, который мы до сих пор практически игнорировали. Для каждого нетривиального нуля, расположенного на северной половине критической прямой, имеется соответствующий нуль на ее южной части. Если, например, ¹/ ₂+ 14,134725 i— нуль дзета-функции, то нулем должно быть и число ¹/ ₂- 14,134725 i. На чисто математическом языке можно сказать, что если z —нуль, то и его комплексное сопряжение z'также есть нуль. (Мы помним, что z'произносится как «зет-с-чертой». ^{2}Сейчас может оказаться нелишним взглянуть на рисунок 11.2и освежить в памяти основные факты о комплексных числах.)

При выполнении суммирования южная часть критической полосы играет ключевую роль. На рисунках 21.2и 21.3были показаны лишь первые несколько нулей вдоль северной половины критической прямой. Для создания более полной картины, включающей и южную половину этой прямой, в самой левой части рисунка 21.4 показана плоскость комплексных чисел с отмеченной критической полосой от ¹/ ₂- 15 iдо ¹/ ₂+ 15 i. Этого достаточно, чтобы был виден первый нуль при ¹/ ₂+ 14,134725 i, а также его комплексное сопряжение ¹/ ₂- 14,134725 i. Они отмечены буквами и '.

Рисунок 21.4.Критическая прямая, продолженная до первой пары нетривиальных нулей, и ее отображение сначала с помощью функции 20 ^z, а затем с помощью функции Li(20 ^z).

Рассматривая эту плоскость как плоскость аргумента для функции 20 ^z, мы получаем на средней части рисунка 21.4картинку типа «сюда» в плоскости значений — окружность радиуса 20, где, как и на рисунке 21.2, отмечено 20 , а наряду с этим отмечено еще и 20 ^'. Заметим, что, когда аргументы комплексно сопряжены друг другу, сопряжены и значения функции. Такое происходит не со всеми функциями, но, по счастью, происходит с функцией 20 ^z. Если мы применим функцию Li, на этот раз используя в качестве ее плоскости аргумента среднюю часть рисунка 21.4, то мы увидим, что критическая прямая, которая намоталась на эту окружность бесконечное число раз под действием функции 20 ^z, теперь разматывается в симпатичную двойную спираль в правой части рисунка. (Рисунок 21.3представлял собой «наезд камеры» на верхнюю часть этой спирали.) И по-прежнему, когда аргументы комплексно сопряжены друг другу, сопряжены и значения.

Осталось заметить еще только одну вещь перед тем, как мы приступим к сумме Li(20 ). Показанная спираль — что лучше всего видно из рисунка 21.3— стремится к точке своего назначения не слишком быстро. Скорость, с которой она сходится, по сути дела гармоническая: если представить себе, что муравей Арг шагает на север по критической прямой, а на его приборчике выставлена функция Li(20 ), то муравей Знач будет двигаться по спирали, постепенно приближаясь к точке i— приближаясь на расстояние, обратно пропорциональное высоте, на которую забрался муравей Арг. Если последний вскарабкался на высоту T, то муравей Знач будет находиться от точки iпримерно на расстоянии, пропорциональном 1/ T.

Имея это в виду, мы теперь готовы взяться за сумму Li(20 ). Сложению подлежат комплексные числа, соответствующие всем нашим точкам на спирали, изображенной на рисунке 21.3, а также их комплексно сопряженным точкам на соответствующей южной части спирали. Поскольку для каждой точки северной спирали имеется ее зеркальное отображение на южной, все мнимые части сократят друг друга: для каждого a + biнайдется соответствующее a -  bi,так что при их сложении получится просто 2a. Ну и отлично, потому что J(x) — вещественное число, и решительно не годится иметь мнимые слагаемые в правой части выражения (21.1)! Это и вправду хорошая новость, потому что она означает, что складывать надо только вещественные (т.е. западно-восточные) части точек на рисунке 21.3. Вклад южного полушария сводится просто к тому, что ответ удваивается, т.е. (a + bi) + (a - bi) = 2а.