Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Остальные новости похуже. Точки, раскиданные по спирали на рисунке 21.3, как уже было замечено, сходятся к числу i— а их вещественные части, стало быть, сходятся к нулю — с гармонической скоростью. Сложение вещественных частей всех этих точек, следовательно, чревато опасностью, что мы будем складывать нечто вроде гармонического ряда, который, как мы помним из главы 1, расходится. Откуда нам знать, что сумма Li(20 ) сходится?

Делу помогает тот факт, что вещественные части этих точек то положительны, то отрицательны. На самом деле наша сумма похожа не на гармоническую сумму, а на ее близкого родственника, с которым мы бегло встречались в главе 9.vii:

1 -

¹/ ₂+ ¹/ ₃- ¹/ ₄+ ¹/ ₅- ¹/ ₆+ ¹/ ₇- …

Слагаемые здесь приближаются к нулю гармонически: 1, ¹/ ₂, ¹/ ₃, ¹/ ₄, ¹/ ₅, …, но чередующиеся знаки плюс и минус означают, что каждый следующий член до некоторой степени сокращает предыдущий, что и приводит к сходимости. Но эта сходимость, если использовать введенную в главе 9.vii терминологию, лишь условна. Она зависит от суммирования всех членов в правильном порядке.

Так же обстоит дело и с рядом Li(20 ). Если мы желаем обеспечить сходимость к правильному числу, то нам следует проявлять осторожность относительно порядка суммирования. Так каков же правильный порядок? Он ровно такой, как вы и подумали. Берем нули один за другим, двигаясь вверх по критической прямой, и прибавляем к каждому его комплексно-сопряженный нуль из южной части.

VII.

Итак, для вычисления суммы Li(20 ) мы сначала складываем каждый нуль дзета-функции с его зеркальным образом (т.е. с комплексным сопряжением) из южной половины плоскости аргумента. Далее эти пары надо сложить в порядке возрастания положительных мнимых частей. Таким образом, мы складываем нули в следующем порядке:

¹

/ ₂+ 14,134725 iи ¹/ ₂- 14,134725 i; затем¹/ ₂+ 21,022040 iи ¹/ ₂- 21,022040 i; затем¹/ ₂+ 25,010858 iи ¹/ ₂- 25,010858 i; затем ….

Чтобы посмотреть, что же получается в результате этого процесса, и разобраться в том, почему Риман назвал этот вторичный член «периодическими членами», поупражняемся немного в арифметике, используя конкретные значения буквы x. Как и раньше, возьмем x = 20; тем самым мы вычисляем величину J(20) — что, как несложно проверить из исходного определения функции J, равно 9 ⁷/ ₁₂т.е. 9,5833333…. Вот как это получается.

Сначала возводим 20 в степень ¹/ ₂+ 14,134725 i. В результате получаем точку, которая на рисунке 21.2помечена как 1 и численно выражается как -0,302303 - 4,46191 i. Интегральный логарифм от этого — т.е. функция Li — дает самую западную точку на рисунке 21.3, выражаемую числом -0,105384 + 3,14749 i. Теперь разберемся с сопряженным членом из этой пары нулей. Возводим 20 в степень ¹/ ₂- 14,134725 i. Результат равен -0,302303 + 4,46191 i. Он показан на средней картинке на рисунке 21.4. Это зеркальный образ точки, помеченной на рисунке 21.2как 1, относительно вещественной оси. Берем интегральный логарифм и получаем ответ -0,105384 - 3,14749 i— точку, лежащую глубоко на юге в правой части рисунка 21.4. Складывая два ответа, получаем -0,210768. Мнимые части, разумеется, сократились. Вот и все с первой парой сопряженных нулей.

Повторим все это для второй пары, ¹/ ₂+ 21,022040 iи ¹/ ₂- 21,022040 i. На этот раз окончательный ответ будет равен 0,0215632. Для третьей пары он равен -0,0535991. С тремя парами мы разобрались, но впереди бесконечность!

После 50 таких вычислений получаем (таблицу следует читать по колонкам):

Первое значение представляет собой некоторую аномалию, поскольку самая западная точка на рисунке 21.3отстоит от вертикальной оси более чем в два раза дальше, чем остальные. Однако затем числа в таблице уменьшаются по мере того, как значения, соответствующие северной половине критической прямой, по спирали приближаются к i. И взгляните на их знаки — имеется примерно равное число положительных и отрицательных. [199]Это хорошая новость, потому что, хотя ответы и становятся меньше, они делают это не очень быстро, и нам потребуется вся возможная помощь, которую могут нам оказать сокращения между положительными и отрицательными значениями. Не будем забывать, что все это происходит под знаком суммы — эти 50 чисел предстоит еще сложить друг с другом. (Сумма равна -0,343864, что, кстати, составляет не более 8 процентов от полной бесконечной суммы. Не так плохо для всего лишь 50 слагаемых.)

Рисунок 21.5.Первые 50 значений, полученных путем взятия нетривиального нуля и его комплексно сопряженного, вычисления значений функции Li(20 ^z)и их последующего суммирования.