Рассказ предка

Небольшое затруднение, смысл которого станет понятен через мгновение, состоит в том, что график работает лучше, если мы сделаем значения обеих шкал логарифмическими, и именно так этот график и был построен. Мы откладываем логарифм массы мозга животного в зависимости от логарифма массы его тела. Логарифмический означает, что равные отрезки вдоль нижней части графика (или равные отрезки вдоль вертикальной оси) представляют собой умножение на некоторое определенное число, например, десять, а не прибавление числа, как на обычном графике. Основание десять удобно тем, что мы можем рассматривать логарифм как количество нолей в числе. Если Вы должны умножить массу мыши на миллион, чтобы получить массу слона, это значит, что Вы должны добавить шесть нолей к массе мыши: Вы должны добавить шесть к логарифму одного, чтобы получить логарифм другого. На полпути между ними в логарифмическом масштабе — три ноля – лежит животное, которое весит в тысячу раз больше, чем мышь, или одну тысячную веса слона: возможно, человек. Я использую круглые числа, такие как тысяча и миллион, только чтобы сделать объяснение легким. "Три с половиной ноля" лежат где-то между тысячей и десятью тысяч. Заметьте, что "на полпути между", когда мы считаем ноли, совсем не одно и то же, что "на полпути между", когда мы считаем граммы. Это все учитывается автоматически благодаря отысканию логарифмов чисел. Логарифмический масштаб обращается к другому роду математической интуиции, чем простые арифметические величины, что полезно для различных целей.

Есть, по крайней мере, три серьезных основания для того, чтобы использовать логарифмический масштаб. Во-первых, он позволяет отобразить карликовую землеройку, лошадь и голубого кита на одном и том же графике, не нуждаясь в ста ярдах бумаги. Во-вторых, это облегчает чтение мультипликативных факторов, что иногда мы и хотим сделать. Мы не просто хотим знать, что у нас больший мозг, чем мы должны были бы иметь при нашем размере тела. Мы хотим знать, что наш мозг, скажем, в шесть раз больше, чем он "должен" быть. Такие мультипликативные суждения могут быть вынесены при непосредственном прочтении логарифмического графика: таковы логарифмические средства. Третья причина для предпочтения логарифмической шкалы потребует немного больше времени для объяснения. Один из способов ее выразить состоит в том, что она заставляет наши точки группироваться вдоль прямых линий, а не кривых, но в этом есть еще кое-что. Позвольте мне попытаться объяснить это моему собрату, неспециалисту в числах.

Предположим, что Вы берете объект, такой как сфера или куб, или на самом деле, мозг, и увеличиваете его равномерно таким образом, чтобы он был все той же формы, но в десять раз больше. В случае сферы это означает десятикратный диаметр. В случае куба или мозга это означает десятикратную ширину (и высоту, и длину). Во всех этих случаях пропорционального увеличения, что случится с объемом? Он не будет в десять раз большим – он будет в тысячу раз большим! Вы можете доказать это для куба, если представите себе сложенные кусочки сахара. То же самое относится к равномерному увеличению любой формы, какой захотите. Умножьте длину на десять и, если форма не изменяется, Вы автоматически умножаете объем в тысячу раз. В частном случае десятикратного увеличения это эквивалентно добавлению трех нолей. В общем, объем пропорционален третьей степени длины, а логарифм умножается на три.

Мы можем сделать те же вычисления для площади. Но площадь увеличивается пропорционально второй степени длины, а не третьей. Недаром возведение во вторую степень называется квадратом, в то время как возведение в третью – кубом. Объем куска сахара определяет, сколько в нем сахара и сколько он стоит. Но то, как быстро он растворится, определяет площадь его поверхности (не простое вычисление, потому что по мере его растворения оставшаяся площадь поверхности будет сокращаться медленнее, чем объем оставшегося сахара). Когда Вы равномерно увеличиваете объект, удваивая его длину (ширину, и т.д.), Вы умножаете площадь поверхности на 2 × 2 = 4. Увеличьте его длину в 10 раз, и вы увеличите площадь его поверхности в 10 × 10 = 100 раз, то есть добавите к числу два ноля. Логарифм площади возрастает двукратно с ростом логарифма длины, в то время как логарифм объема - трехкратно. Двухсантиметровый кубик сахара содержит в 8 раз больше сахара, чем односантиметровый, но он будет передавать в чай только в 4 раза больше сахара за то же время (по крайней мере, сначала), поскольку такова площадь его поверхности, контактирующая с чаем.