Рассказ предка

Теперь представьте, что мы нарисуем для кусочков сахара с широким диапазоном размеров график с массой кусочка (пропорционального объему) по горизонтальной оси относительно (начальной) скорости растворения (пропорциональной площади) по вертикальной оси графика. На нелогарифмическом графике точки расположатся вдоль кривой линии, что будет довольно тяжело для восприятия и не слишком удобно. Но если мы построим график логарифма массы против логарифма начальной скорости растворения, мы увидим нечто гораздо более информативное. На каждый трехкратный прирост логарифма массы, мы увидим удвоение логарифма поверхности. На двойном логарифмическом масштабе точки лягут не вдоль кривой, а вдоль прямой линии. Более того, наклон прямой будет означать нечто весьма определенное. Это будет наклон в 2/3: на каждые два шага вдоль оси площади линия пройдет три шага вдоль оси объема. На каждое удвоение логарифма площади, логарифм объема утроится. Две трети – не единственный информативный наклон прямой, которую мы можем увидеть на двойном логарифмическом графике. Графики такого типа информативны, поскольку наклон линии дает нам интуитивное представление о том, как связаны такие вещи как объемы и площади. И объемы, и площади, а также сложные отношения между ними чрезвычайно важны для понимания живых тел и их частей.

Я, мягко говоря, не являюсь особым знатоком математики, но даже я вижу в этом очарование. И все становится еще интересней, если принять во внимание, что тот же принцип работает в отношении всех форм, не только таких аккуратных как кубы и сферы, но и сложных, как животные и их части - почки и мозги. Все, что требуется, это чтобы размер менялся простым увеличением или уменьшением без изменения формы. Это дает нам нечто вроде исходного ожидания, с которым можно сравнить реальные размеры. Если один вид животных в 10 раз длиннее другого, его масса будет в 1000 раз больше, но только если форма останется той же. Фактически же форма с большой долей вероятности тоже эволюционирует по мере увеличения животного, и мы теперь можем видеть почему.

Большие и маленькие животные должны иметь различную форму, хотя бы из-за правил масштабирования площадь/объем, которые мы только что увидели. Если вы превратите землеройку в слона простым ее увеличением, сохраняя ту же форму, она не выживет. Поскольку она теперь будет в миллион раз массивней, возникнет множество новых проблем. Некоторые из проблем, которые престанут перед животным, зависят от объема (массы). Другие от площади. Третьи зависят от сложной функции обоих или каких-нибудь совсем других причин. Как и скорость растворения кусочка сахара, скорость отдачи тепла животным или потери влаги через кожу будет пропорциональна площади, открытой внешнему миру. Но скорость выработки тепла будет, вероятно, более соотносима с количеством клеток в теле, которое является функцией объема.

Землеройка, растянутая до размера слона, будет иметь хилые ножки, которые сломаются под весом, и ее тонкие мускулы будут слишком слабы для работы. Сила мышц пропорциональна не их объему, а площади их сечения. Это справедливо потому, что мускульное движение представляет суммарное движение миллионов молекулярных волокон, скользящих параллельно одно вдоль другого. Количество волокон, которое можно упаковать в мышцу, зависит от площади поперечного сечения (вторая степень линейного размера). Но задача, которую должна выполнять мышца - скажем, поддержка слона - пропорциональна массе слона (третья степень линейного размера). Таким образом, слону для удержания веса тела нужно пропорционально больше мускульных волокон, чем землеройке. Поэтому площадь сечения мышц слона должна быть большей, чем ожидалось бы при простом масштабировании, и объем мышц слона должен быть большим, чем вы бы ожидали при простом масштабировании. По различным специфическим причинам подобное заключение справедливо и для костей. Вот почему такие животные как слоны имеют массивные, похожие на ствол дерева, ноги. Галилей был одним из первых, кто понял это, хотя его схема преувеличивает реальный эффект.