Различие и Повторение

Нельзя считать, что даже технически дифференциальное исчисление является единственным математическим выражением задач как таковых. В очень разных областях эту роль играли методы исчерпывания, а также аналитическая геометрия. Позднее эту роль лучше выполняли другие приемы. Действительно, можно вспомнить круг, в котором бьется теория задач: задача решаема только в той мере, в которой она “верна”, но у нас всегда есть тенденция определять верность задачи ее решаемостью. Вместо того чтобы основывать внешний критерий решаемости на внутреннем характере задачи (Идеи), мы ставим внутренний характер в зависимость от простого внешнего критерия. Но если этот круг и был разорван, то прежде всего математиком Абелем; он вырабатывает метод, согласно которому решаемость должна вытекать из формы задачи. Вместо того чтобы наугад искать, решаемо ли уравнение вообще, следует определить условия задачи, постепенно специфицирующие поля решаемости таким образом, что “условие задачи содержит зародыш решения”. В этом состоит радикальный переворот в отношениях решение-задача, революция более значительная, чем коперниковская. Можно сказать, что таким образом Абель открывал новую Критику чистого разума, которая превосходила именно кантовское внешнее определение (extrinsecisme). То же суждение подтверждается применительно к трудам Галуа: исходя из основного “тела” (R), последовательные присоединения к этому телу (R', R", R"'...) позволяют все более и более точно различить корни уравнения путем возрастающего ограничения возможных подстановок. Таким образом, существует целый каскад “частичных резольвент” или пересечение “групп”, благодаря которым решение вытекает из самих условий задачи: например, если уравнение нерешаемо алгебраически, это открывается теперь не в результате эмпирического поиска или наугад, а исходя из признаков групп или частичных резольвент, образующих синтез задачи и ее условий (уравнение решаемо алгебраически, то есть посредством корней, только в том случае, когда частичные резольвенты являются биномными уравнениями, а индикаторы групп — простыми числами). Теория задач полностью преобразована, наконец-то обоснована, поскольку мы больше не находимся в классическом положении учителя и ученика, когда ученик понимает задачу и следит за ходом ее решения лишь в той мере, в которой учитель знает ее решение и делает, следовательно, необходимые замещения. Ибо, как замечает Жорж Веррье, группа уравнений в какой-то момент характеризует не то, что мы знаем о корнях, а объективность того, что мы о них не знаем⁸⁴. Наоборот, это незнание уже не является недостатком, недостаточностью, но правилом, обучением, чему соответствует фундаментальное измерение объекта. Это новый Менон; преобразовано педагогическое отношение в целом, а с ним и многое другое — познание и достаточное основание. “Постепенная различимость” у Галуа единым непрерывным движением объединяет процесс взаимодетерминации и полной детерминации (пары корней и различение корней внутри пары). Она создает целостный облик достаточного основания и вводит в него время. Благодаря Абелю и Галуа теория задач математически в состоянии отвечать всем собственно диалектическим требованиям и разорвать ограничивавший ее круг.