Разыскания о жизни и творчестве А.Ф. Лосева

Рассмотрение аспекта многое логически исчерпано. Однако бесконечность встречается, как известно, не только на пути количественного роста и увеличения, но и в противоположном направлении. Следовательно, для нас настал черед нового аспекта: перечислим теперь подходы к бесконечности (целому) как малому, т. е. рассмотрим их на базе бинарной формы малое целое. При этом необходимо продолжить сквозное перечисление возможных типов бесконечности, начатое выше под рубрикой многое. И еще сразу же оговорим, что в используемой далее бинарной форме мы сознательно поменяли порядок образующих ее членов, что совершенно безразлично для ближайших типологий, но понадобится нам в дальнейшем. Итак, малое целое в развертывании по типам бесконечности представимо, на наш взгляд, следующим образом:

e) малое целое — бесконечность, в которой представлена только сторона неограниченного умаления, сокращения, уменьшения и которая известна в истории мысли под названием нуля как предела; после О. Коши в виде бесконечно-малого данный тип бесконечности вошел в основания (стандартного) математического анализа;

f) малое целое — такое бесконечно-малое, т. е. такая бесконечность, которая при всем своем неограниченном уменьшении предстает именно как нечто фиксированное, как определенно данное, т. е. актуальное бесконечно-малое; данный тип бесконечности составляет основу с недавних пор (работы А. Робинсона в 60-х гг. XX века) развитого нестандартного или неархимедова анализа;

g) комбинация представлений о бесконечно-малом в понимании (е) и понимании (f) — бесконечная, точнее, потенциально бесконечная иерархия актуально бесконечно-малых; введена здесь по аналогии с типом бесконечности (с) и, насколько нам известно, в математике специально не рассматривалась;

h) малое целое — построенное по аналогии с типом (d) представление бесконечности при диалектическом объединении понимания (е) и понимания (f), когда всякие бесконечно-малые не только образуют иерархию, но и замыкаются (ограничиваются снизу) величиной 0_i — нулем данного i-ого числового класса ⁸; завершенные иерархии актуально бесконечно-малых, кажется, также еще не явились предметом специальных исследований.

Отметим, бросая общий взгляд на полученный перечень, следующие важные обстоятельства. Прежде всего, нетрудно обнаружить, что кратко рассмотренные у нас точки зрения на бесконечность отнюдь не равноправны между собой. Так, из восьми возможных подходов шесть носят явно промежуточный, подготовительный характер, выступая в качестве того или иного этапа на пути к зрелому — во всяком случае, логически более зрелому — представлению о бесконечности. Интегральными же и итоговыми (каждая в «своей» области) являются представления вида (d) и (h). С другой стороны, приходится констатировать, что к настоящему времени получили развитие далеко не все точки зрения, причем менее разработанными, в частности, в математике оказываются как раз синтетические, итоговые подходы, особенно и прежде всего в позициях (h) и в значительной мере (d). Далее. Если не выходить, напомним нашу исходную посылку, за пределы сферы S⁺, а в последней ограничиваться лишь описательной стороной дела и не претендовать на развернутые формальные построения, наша классификация в некоторой мере по-новому проясняет и детализирует представления о бесконечности. Вместе с тем в данном пункте она выступает — это важно зафиксировать специально — в тесном союзе с подходом, который уже достаточно давно был развит в «Диалектических основах математики» Лосева. Конструкция бесконечного как диалектического синтеза целого и дробного, данная на страницах этой книги ⁹, в наших терминах, можно сказать, лишь несколько уточняется по двум направлениям — дробного как малого (присутствует в бинарной форме малое целое), если специально выделять аспект убывающей величины дробимой части, и дробного как многого (в бинарной форме целое многое), если специально выделять аспект возрастающего количества дробимых частей.

Еще раз обратившись к нашему перечню, мы можем выделить три типа бесконечности как таковой, т. е. бесконечности актуальной, и этим типам присвоить наименования определенно унифицирующего характера, прибегнув еще к услугам некоторого рода оксюморона, ибо для характеристик необычного мира бесконечности будет применена соотносительная терминология, почерпнутая из мира конечных величин и потому в определенной мере привычная для обыденного сознания. Итак, предлагается различать следующие типы бесконечности:

? — абсолют, или актуально бесконечное большое;

?_i— иерархия алефов, или актуально бесконечных средних;

0_i — иерархия нулей, или актуально бесконечных малых.