Юноша проявил высокий талант и трудолюбие, танцевал сложнейшие партии. В 1971 году он был принят в Большой театр, в балетную труппу которого сразу же был зачислен солистом. В главном балетном коллективе СССР существовали, однако, враждующие группы, и начинающий артист оказался в центре группировок, обвинявших одна другую в смертных грехах. Он примкнул к оппозиции главному балетмейстеру театра — увенчанному славой и лаврами Юрию Николаевичу Григоровичу — действительно выдающемуся художнику, но человеку весьма властному и своенравному.
Александр Годунов продолжал выступать, но на сцену и тем более на гастроли, особенно зарубежные, его выпускали редко. В значительной мере это было связано с тем, что за границей он, по мнению партийного начальства и кураторов из КГБ, «неправильно себя вел»: носил вызывающую одежду, слишком длинные волосы и даже общался с российскими эмигрантами.
Воспользовавшись тем, что он был включен в балетную труппу, выступавшую в 1979 году в США, Александр Годунов в августе того года в Нью-Йорке обратился к американским властям с просьбой о предоставлении ему политического убежища, причем сделал это не только от своего имени, но и от имени своей жены — солистки балета Людмилы Власовой, которая была старше его на восемь лет. Тем не менее советским представителям удалось отправить Власову на родину (самолет, на котором она возвращалась, был задержан на три дня по требованию американской стороны, подозревавшей, что ее вывозят насильно).
Вся эта история превратилась в международный скандал, о котором сообщала пресса различных стран в соответствии со своими политическими установками. Произошел даже обмен письмами между генеральным секретарем ЦК КПСС Леонидом Брежневым и президентом США Джимми Картером. Позже Власова, возвратившаяся в Москву, утверждала, что она покинула США добровольно.
В любом случае история разрыва Александра Годунова с советскими властями обеспечила ему популярность в США с самого момента эмиграции. Он почти немедленно был принят в труппу Американского театра балета, в котором проработал три года и покинул его из-за творческих разногласий с руководителем театра Михаилом Барышниковым.
После этого балетмейстер организовал собственную труппу, названную им «Годунов и друзья», которая гастролировала не только в США, но и в других странах Америки и Западной Европы. В 1985 году он ушел из балета в частную жизнь, но изредка снимался в кино, ведь первые кинопробы им были сделаны еще в СССР. Он снялся, в частности, в 1978 году в сказочном телевизионном фильме «31 июня», который после премьеры лег «на полку» на много лет по причине эмиграции Годунова.
Собираясь сниматься в американских фильмах, Александр Годунов стал брать уроки актерского мастерства в школе Джуиллиард — крупнейшем учебном заведении в области искусств, расположенном в Линкольн-центре на Манхэттене. Он посещал также студию Стеллы Адлер, которая сама училась у Константина Станиславского и обучала многих видных деятелей американского театра и кино.
В 1985 году появился первый американский фильм «Свидетель», в котором Александр Годунов сыграл одну из ролей второго плана. Его участие было, однако, отмечено прессой, а зрители выражали удовлетворение тем, как мастер балета перевоплотился в американского сельского жителя, воплощающего жизнь, вроде бы застывшую век назад.
В дальнейшем Годунов принял участие в съемках комедии «Долговая яма» и боевике «Крепкий орешек». В них он также не был исполнителем первого плана, но его легко узнавали по характерной пластике движений и легкому акценту. Мастер балета, безусловно, проявил определенный драматический талант. Он был удовлетворен тем, что фильм был номинирован на «Оскара».
Позже он снялся в эпизодической роли в фильме «Музей восковых фигур 2: Затерянные во времени», а в 1995 году начал сниматься в боевике «Зона», на этот раз в одной из главных ролей — экстравагантного химика, превратившегося в террориста и мечтающего стать господином всего мира.
В то же время Александра Годунова, по всей видимости, далеко не полностью удовлетворял ход его американской жизни, и прежде всего оторванность от балета, который он оставил вроде бы по собственной воле, но скорее всего в связи с состоянием здоровья и ухудшением физических возможностей. В связи с этим у него возникали приступы депрессии, которые он глушил спиртными напитками, но все же оказывался способным временами преодолеть тяжкое душевное состояние. В этом помогала ему видная американская актриса Жаклин Биссет, с которой он сблизился во время киносъемок.
Во время съемок фильма «Зона», частично проходивших в Будапеште, Александр Годунов на несколько дней вылетел в Ригу, собираясь встретиться с матерью, которая там жила. Однако мать на встречу не пришла, заявив, что сына давно потеряла. Артист был потрясен. По возвращении в США он отказался продолжать участие в работе над фильмом. У него начался тяжелейший приступ депрессии, сопровождавшийся запоями.