Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Чтобы доказать свою точку зрения, Декарт бросил вызов: попросил Ферма найти касательную к заданной кривой, которую затем назвали "декартов лист". Ферма ответил правильным решением. Тулузский ученый получил результат двумя способами. Второй из них был основан на идеях самого Декарта, где он использовал нормаль для вычисления касательной; так он хотел доказать своему сопернику, что его метод дает те же самые результаты, но проще. Однако Ферма не смог добиться того, чтобы его метод приравнивания был полностью принят его соперниками. Тем не менее в своей обычной манере он думал, что если метод работает, то он должен быть истинным. В любом случае, к счастью для историков, полемика длилась какое-то время, из-за чего Ферма был вынужден в первый раз обосновать свои результаты несколько подробнее.

По сути все это было недоразумением. В "Аналитическом исследовании" уже было ясно, что возражение Декарта о том, что метод касательных не основан на методе максимумов и минимумов, ложное. В конце концов посредник, работавший в стиле Декарта, французский математик Жерар Дезарг (1591 — 1661), принял соломоново решение в данной полемике: Декарт был прав в том, что выразил недоверие, поскольку изложение Ферма, представленное в Methodus, было недостаточно ясным. Но по сути Ферма был прав: его метод касательных был абсолютно универсальным. Оба гиганта столкнулись с проблемой оценки их личности. Точнее, проблема была в личности философа, поскольку Ферма в целом вел себя довольно корректно. Декарт нехотя согласился с этим вердиктом и даже извинился перед Ферма за свои оскорбления, но не упустил возможности в будущем оправдаться, пытаясь омрачить репутацию Ферма. Последний же продолжил свою полемику с Декартом и его последователями еще через 20 лет, когда его соперник уже умер. Из его дальнейших записей очевидно восхищение, которое он испытывал к Декарту, несмотря на критику. В некотором смысле, хотя Ферма так и не оставил идей Виета, он все же обратил внимание на Декарта и частично принял его "Геометрию". Но раны, вызванные этой полемикой и тем, как презрительно относился к нему Декарт, пытаясь понизить его авторитет в математическом сообществе, так никогда и не затянулись.

КВАДРАТУРА

В ходе исследований о касательных, максимумах и минимумах Ферма постепенно ушел от своего приравнивания к намного более современному понятию квази-равенства, настолько произвольно близкого к точке, что разница практически равна нулю. Но именно в своем методе квадратур он сделал последний шаг к анализу бесконечно малых, к произвольно малым величинам. К тому времени Ферма уже оставил позади свои методы касательных, максимумов и минимумов и никогда не пересматривал их в свете своих новых идей.

Проблема квадратур существовала уже в античности, ими занимались даже Евдокс и Архимед. В целом она состоит в том, чтобы найти площадь, ограниченную некоей кривой и прямой (обычно осью), или, когда кривая полностью окружает точку, как в случае со спиралями, — площадь, ограниченную кривой. Как это делали древние, данная площадь выражается построением прямоугольника, площадь которого равна искомой площади, то есть нахождением произведения двух рациональных чисел а и b, образующих стороны прямоугольника. Действительно, во многих случаях они получали несколько прямоугольников, площади которых в сумме давали искомую площадь.

Вскоре греки столкнулись с очень сложной задачей. Речь шла о нахождении квадратуры самой элементарной фигуры — круга. И сколько бы усилий ни прилагали греки, им не удалось построить прямоугольник с рациональными сторонами, который имел бы такую же площадь. Причина их неудачи была найдена только в XIX веке: число π, с помощью которого обязательно выражается площадь круга, не может быть выражено не только в рациональном виде, но даже в качестве результата алгебраического уравнения. Сегодня такие числа называются трансцендентными, и они относятся к иррациональным числам.

Сложность квадрирования некоторых кривых не ускользнула от Ферма, но, как мы уже сказали, его аналитическая геометрия порождала бесконечное число кривых. В частности, кривые конических сечений степени больше квадрата внезапно стали отлично доступными в виде уравнений. Итак, вместо того чтобы увлекаться неквадратными кривыми, такими как круг, Ферма применил свой метод к кривым высшей степени. Убежденность ученого в том, что эти кривые идеально определяются его уравнением, постепенно привела Ферма к тому, чтобы не беспокоиться об их геометрическом представлении. В письмах и трактатах он каждый раз все более демонстративно забывал о графике кривой и сосредотачивался на алгебраических действиях. Как всегда, Ферма начал свою работу на основе трудов греческого ученого. В этот раз это был не Аполлоний и не Диофант, а Архимед. Окончательные работы Ферма на эту тему были опубликованы его сыном Клеманом-Самюэлем после его смерти, и хотя они не были поняты людьми уровня Гюйгенса, автора уже не было в живых, чтобы, как это было в случае с Декартом, прояснить то, что он хотел сказать.