Шанс есть! Наука удачи, случайности и вероятности

Впрочем, споры еще не совсем утихли. «По сути, статистика – это абстрактный язык, с помощью которого наука описывает результаты, рассказывая о том, как устроена природа и как она работает, – говорит Касс. – Но рассказывать можно по-разному. И я не исключаю, что лет через 200 в статистике произойдет революция и появится какой-нибудь блестящий синтез байесианства и частотного подхода. Но мне кажется, что здесь всегда будет идти борьба как минимум двух методов».

Известные неизвестные

Бросим последний (в этой книге) взгляд на математику случая. Мы отправляемся в мрачные глубины теории чисел. Осторожно, здесь таятся чудовища: совершенно непредсказуемые числа, не позволяющие нам доказать некоторые теоремы. Чудовищ открыл Грегори Чайтин. Он постарается объяснить, почему некоторых так встревожило это открытие.

Физики давно обсуждают вопрос предсказуемости. В начале XIX века классические детерминистические законы Исаака Ньютона заставили Пьера Симона де Лапласа решить, что будущее Вселенной, возможно, навсегда предопределено.

А потом появилась квантовая механика. Ее теории лежат в основе нашего теперешнего понимания природы вещества. Она описывает очень маленькие объекты – например, электроны и другие элементарные частицы. Одной из самых противоречивых особенностей квантовой механики стало то, что она ввела в физику вероятность и случайность как основополагающие факторы. Как известно, это очень расстроило Альберта Эйнштейна, который возмущенно заявил: мол, Бог не играет в кости.

А несколько десятилетий спустя научный мир был снова удивлен: исследования в области нелинейной динамики показали, что даже классическая ньютоновская физика зиждется на случайности и непредсказуемости. Так случайность и непредсказуемость начали казаться каким-то объединяющим физическим принципом.

Кажется, этот же принцип распространяется и на математику. Некоторые теоремы, связанные с теорией чисел, невозможно доказать, поскольку, задавая необходимые вопросы, мы получаем результаты, эквивалентные результатам случайного подбрасывания монетки.

Мои выкладки шокировали бы многих математиков XIX века, убежденных, что уж математические истины всегда можно доказать. Например, в 1900 году математик Дэвид Гильберт прочел ставшую знаменитой лекцию, где перечислил 23 нерешенные проблемы как вызов для математиков нового века. Шестая проблема касалась установления фундаментальных универсальных истин – аксиом – в физике. Один из ее аспектов затрагивал теорию вероятностей. Для Гильберта вероятность выступала просто как практический инструмент, берущий начало в физике и помогающий описывать реальный мир, где доступно лишь ограниченное количество информации.

Десятая проблема Гильберта касалась решения так называемых диофантовых уравнений (названных так в честь древнегреческого математика Диофанта). Это алгебраические уравнения, имеющие дело лишь с целыми числами. Гильберт спрашивает: «Существует ли способ определить, будет ли алгебраическое уравнение иметь целочисленное решение?»

Гильберт вряд ли догадывался, что между шестой и десятой проблемой существует тонкая взаимосвязь. В основе всех его рассуждений лежало настолько фундаментальное для него положение, что он даже не сформулировал его на своей лекции в виде проблемы или вопроса: Гильберт неизменно исходил из того, что у каждой математической задачи есть решение. Может быть, нам не хватает ума, трудолюбия или времени, чтобы его найти, но в принципе всякая математическая проблема должна быть разрешимой. Так полагал Гильберт. Для него это была абсолютная истина.

Однако сегодня математикам ясно: Гильберт стоял на зыбкой почве. Да, есть связь между шестой проблемой Гильберта, которая имеет отношение к теории вероятностей, и его десятой проблемой – касательно целочисленных решений для алгебраических уравнений. И эта связь приводит к неожиданному и даже в чем-то устрашающему результату. Оказывается, случайность таится в самом сердце традиционнейшей отрасли чистой математики – теории чисел.

Как выясняется, ответы на простые и ясные математические вопросы не всегда просты. Так, в элементарной теории чисел вопросы, затрагивающие диофантовы уравнения, способны порождать ответы совершенно случайного характера – с виду не черные и не белые, а серые. Ответы случайны, ибо единственный путь доказательства сводится к постулированию каждого ответа как добавочной независимой аксиомы. Эйнштейн ужаснулся бы, узнав, что Бог преспокойно играет в кости не только в квантовой и классической физике, но и в чистой математике.