Статистика. Ответы на экзаменационные билеты

Ковариацией называется показатель тесноты связи между переменными:

где x y – среднее арифметическое значение произведения факторной и результативной переменных:

x – среднее арифметическое факторной переменной;

y – среднее арифметическое результативной переменной;

Четвертое условие выполняется в том случае, если

изучаемые данные не являются временными рядами;

5) исходя из третьего и четвертого условий, можно добавить пятое условие о том, что случайная ошибка регрессионной модели является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G 2 : ε i ~N ( 0, G 2). На основании перечисленных условий нормальная линейная модель парной регрессии записывается следующим образом:

y i = в 0 + в 1 x i + ε i ,

где y i – значения результативной переменной;

x i – значения факторной переменной;

в 0 , в 1 – неизвестные параметры модели парной регрессии;

ε i – случайная ошибка регрессионной модели;

n – количество наблюдений.

Нормальная линейная модель парной регрессии может быть также записана в матричном виде:

Y = βX + ε,

где Y – вектор значений результативной переменной размерности n × 1;

X – вектор значений факторной переменной размерности n × 2. Первый столбец является единичным, т. к. в регрессионной модели параметр в 0 умножается на единицу;

β – вектор коэффициентов регрессионной модели размерности 2 × 1; n.

ε – вектор случайных ошибок регрессионной модели размерности n × 1 .

28. Классический метод наименьших квадратов для модели парной регрессии

Неизвестные параметры в 0 и в 1 нормальной линейной модели парной регрессии определяются с помощью классического метода наименьших квадратов, или МНК.

Предположим, что исследователем собран цифровой материал, характеризующий две переменные – х и у.

Связь между исследуемыми переменными описывается равенством вида:

yi = β 0+ β 1xi. (2)

В соответствии с методом наименьших квадратов в качестве метода оценки неизвестных параметров регрессионной модели будет выступать сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений результативного признака у от теоретических значений у (рассчитанных с помощью регрессионной модели):

Для нахождения оптимальных значений неизвестных параметров β0 и β1 необходимо минимизировать функционал F по данным параметрам, т. е. необходимо рассчитать такие значения параметров β0 и β1, которые бы доставляли минимум функции:

При минимизации данного функционала неизвестными являются только значения коэффициентов регрессии β0 и β1. Значения результативной и факторной переменных известны из наблюдений.

Для определения минимума функции двух переменных нужно вычислить частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравнять их к нулю. Результатом будет являться стационарная система уравнений для функции (2):

Если разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему:

Решением системы нормальных уравнений являются оценки неизвестных параметров уравнения регрессии β0 и β1:

где у – среднее значение результативной переменной;

х – среднее значение факторной переменной;

ху— среднее арифметическое значение произведения результативной и факторной переменных;

G 2 (x)  – дисперсия факторной переменной.