Стратегические игры

Если обе компании решат инвестировать, обе перейдут к игре в ценообразование, отображенной в юго-восточном углу рисунка. Если обе компании предпочтут высокую цену на втором этапе, каждая получит операционную прибыль 400 долларов × 30 миллионов (половина рынка), или 12 миллиардов долларов; после вычитания 10 миллиардов долларов инвестиционных затрат у каждой компании останется по 2 миллиарда долларов чистой прибыли, или выигрыш 2. Если обе компании выберут низкую цену на втором этапе, каждая получит операционную прибыль 200 долларов × 40 миллионов = 8 миллиардов долларов и после вычитания 10 миллиардов долларов инвестиционных затрат останется с чистым убытком в размере 2 миллиардов долларов, или выигрышем −2. И наконец, если одна компания установит высокую цену, а другая низкую, то вторая получит прибыль 200 долларов × 80 миллионов = 16 миллиардов долларов, что обеспечит ей выигрыш 6, тогда как первая вообще не получит операционной прибыли и просто потеряет вложенные 10 миллиардов долларов с выигрышем −10.

Как и в любой многоэтапной игре, представленной в главе 3, мы должны решить эту игру в обратном порядке, начиная с игры второго этапа. В двух задачах с принятием решений о ценообразовании каждой компанией мы сразу же видим, что выбор высокой цены приносит более крупный выигрыш. Мы фиксируем это, выделив данный выигрыш более крупным шрифтом.

Игру в ценообразование, разыгрываемую на втором этапе, необходимо решать с помощью методов, представленных в главе 4. Несложно заметить, что она относится к категории «дилемма заключенных». «Низкая цена» — это доминирующая стратегия для каждой компании; следовательно, исход игры — комната в юго-восточном углу таблицы игры второго этажа: каждая компания получает выигрыш −2[86].

Обратные рассуждения показывают, что на первом этапе следует оценивать каждую конфигурацию ходов, сначала проанализировав равновесие в игре второго этапа (или оптимальное решение на втором этапе) и полученные в результате выигрыши. Это позволит подставить только что рассчитанные выигрыши в ранее незаполненные или частично заполненные комнаты на первом этаже дома на дереве. Такая подстановка дает нам первый этаж с известными выигрышами, представленный на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Инвестиционная игра первого этапа (после подстановки выигрышей, полученных методом обратных рассуждений на основании равновесия на втором этапе)

Теперь можем использовать методы из главы 4 для решения этой игры с одновременными ходами. Вы должны сразу же распознать игру, представленную на рис. 6.2, как игру в труса. В ней два равновесия Нэша, каждое из которых сводится к выбору одной компанией стратегии «инвестировать», а другой — «не инвестировать». Компания-инвестор получит огромную прибыль, поэтому каждая компания предпочтет то равновесие, в котором она будет инвестором, а другая компания — нет. В главе 4 мы кратко описали способы, позволяющие выбрать одно из двух равновесий, и указали на то, что каждая компания может попытаться получить предпочтительный исход, но это приведет к тому, что обе решат инвестировать и обе понесут убытки. На самом деле именно это и произошло в реальной игре такого рода. В главе 7 мы проанализируем данный тип игр более подробно и покажем, что они имеют третье равновесие Нэша — в смешанных стратегиях.

Исходя из анализа рис. 6.2, в нашем примере в игре первого этапа нет единственного равновесия Нэша. Это не особо серьезная проблема, поскольку мы можем оставить решение неоднозначным в той степени, в которой это было сделано выше. Было бы гораздо хуже, если бы единственное равновесие Нэша отсутствовало в игре второго этапа. Тогда было бы очень важно указать точный принцип выбора исхода игры с тем, чтобы определить выигрыши на втором этапе и использовать их в процессе обратных рассуждений в отношении первого этапа.

Игра в ценообразование второго этапа, показанная в нижней правой ячейке таблицы на рис. 6.1, — одна часть полной двухэтапной игры. При этом она представляет собой полноценную игру с полностью заданной системой игроков, стратегий и выигрышей. Для того чтобы точнее описать двойственную природу этой игры, ее называют подыгрой полной игры.

В более общем смысле подыгра — это часть многоходовой игры, которая начинается в определенном узле исходной игры. При этом дерево подыгры — просто часть дерева полной игры, в котором этот узел выступает в качестве корня, или начального узла. В многоходовой игре столько подыгр, сколько и узлов принятия решений.

Б. Конфигурации многоэтапных игр

В многоуровневой игре, представленной на рис. 6.1, каждый этап включает игру с одновременными ходами. Однако так бывает не всегда. Элементы игр с одновременными и последовательными ходами могут смешиваться и сочетаться друг с другом в любой комбинации. Мы приведем еще два примера, чтобы внести ясность в этот вопрос и закрепить идеи, рассмотренные в предыдущем разделе.