Стратегические игры

Далее мы вернемся к версии игры с последовательными ходами (первой ходит Эмили, второй Нина, третьей Талия), но представим ее в нормальной или стратегической форме. В игре с последовательными ходами у Эмили две чистые стратегии, у Нины 4, а у Талии 16; это подразумевает построение таблицы выигрышей 2 на 4 на 16. При использовании тех же соглашений, что и при построении таблиц для игры с тремя участниками в главе 4, для отображения данной игры понадобилась бы таблица с 16 «страницами» таблиц выигрышей два на четыре. Это слишком громоздко, поэтому мы предпочли переставить участниц игры. Пусть Талии соответствуют строки, Нине столбцы, а Эмили страницы. Тогда все, что нужно для представления данной игры, — это таблица 16 на 4 на 2, показанная на рис. 6.12. Порядок отображения выигрышей по-прежнему соответствует нашему прежнему соглашению об их перечислении в таком порядке: строка, столбец, страница; то есть в нашем примере Талия, Нина, Эмили.

Рис. 6.12. Игра «уличный сад» в стратегической форме

Как и в игре с монетарно-фискальной политикой между ФРС и Конгрессом, в игре «уличный сад» с одновременными ходами множество равновесий Нэша (в упражнении S8 мы предложим вам их найти) и только одно совершенное равновесие подыгры, соответствующее равновесию обратных рассуждений, найденное на рис. 6.11. Хотя анализ наилучших ответов действительно позволяет отыскать все равновесия Нэша, итеративное исключение доминируемых стратегий может сократить совокупность равновесий до разумного количества, необходимого в данном случае. Такой процесс эффективен, поскольку позволяет определить стратегии, включающие недостоверные элементы (такие как «высокие ставки всегда» в случае ФРС в разделе 3.Б). Оказывается, исключение стратегий способно в итоге привести к получению единственного совершенного равновесия подыгры.

На рис. 6.12 мы начинаем с Талии и исключаем все ее (слабо) доминируемые стратегии. В результате остается только указанная в одиннадцатой строке таблицы, НВВН, которую мы уже вычислили как равновесную, полученную методом обратных рассуждений. Далее мы можем перейти к исключению стратегий Нины, для чего понадобится сравнить исходы, полученные в ходе выбора стратегий, на обеих страницах таблицы. Например, для того чтобы сравнить стратегии Нины ВВ и ВН, необходимо посмотреть на выигрыши, связанные с ВВ на обеих страницах таблицы, и сравнить их с найденными аналогичным способом выигрышами от стратегии ВН. В случае Нины процесс исключения стратегий оставляет ей только стратегию НВ, она и есть равновесная, полученная методом обратных рассуждений выше. И наконец, Эмили нужно всего лишь сравнить две оставшиеся ячейки, связанные с ее выбором «не вносить вклад» и «внести вклад». Эмили получит самый высокий выигрыш, сыграв вариант «не вносить вклад», что она и делает. Как и раньше, мы нашли равновесную стратегию методом обратных рассуждений.

Таким образом, единственный исход в виде совершенного равновесия подыгры соответствует той ячейке таблицы игры на рис. 6.12, которая связана со стратегиями равновесия обратных рассуждений каждого игрока. Обратите внимание, что процесс итеративного исключения стратегий, приводящий нас к совершенному равновесию подыгры, выполняется посредством анализа действий игроков в обратном порядке по сравнению с фактическим ходом игры. Этот порядок соответствует тому, в котором действия игроков анализируются в ходе применения метода обратных рассуждений, что позволяет нам исключать именно те стратегии каждого игрока, которые не согласуются с равновесием обратных рассуждений. При этом мы исключаем из рассмотрения все равновесия Нэша, не являющиеся совершенными равновесиями подыгры.

Резюме

Многие игры включают в себя множество различных элементов, одни подразумевают одновременное выполнение ходов, тогда как другие сводятся к их последовательному выполнению. Для иллюстрации двухэтапных (и многоэтапных) игр можно использовать своего рода «дом на дереве»: такая схема позволяет идентифицировать различные этапы игры и связи между ними. Полноценные игры, возникающие на более поздних этапах игры, называются подыграми полной игры.