Стратегические игры

b) Сравните выигрыши Моники и Нэнси с выигрышами, вычисленными в упражнении S10 в главе 5. В этой игре есть преимущество первого или второго хода?

c) Воспользовавшись той же функцией общей прибыли, что и в пункте а, найдите совершенное равновесие подыгры для игры, в которой Нэнси первой принимает решение о количестве усилий.

U10. В расширенном варианте упражнения U9 Монике и Нэнси необходимо решить, кто из них выберет количество усилий в первую очередь. Для этого каждая пишет на листке бумаги, будет ли она принимать решение первой. Если обе напишут «да» или «нет», им предстоит выбирать количество усилий одновременно, как в упражнении U10 в главе 5. Если Моника напишет «да», а Нэнси «нет», то они сыграют в игру, представленную в пункте а упражнения U9. Если Моника напишет «нет», а Нэнси «да», то они сыграют в игру из пункта c.

a) На основании выигрышей Моники и Нэнси, полученных в упражнении U9 выше, а также в упражнении U10 в главе 5, составьте таблицу для первого этапа игры в принятие решений.

b) Найдите равновесия Нэша в чистых стратегиях на первом этапе игры.

U11. В отдаленном городке Сент-Джеймс две компании, Bilge и Chem, конкурируют на рынке безалкогольных напитков (Coke и Pepsi пока на этом рынке нет). Bilge и Chem продают идентичную продукцию, а так как их продукт — жидкость, у них есть возможность выпускать его в более мелких емкостях. Поскольку на данном рынке представлены только эти две компании, цена товара P (в долларах) определяется по формуле P = (30 — Q_B — Q_C), где Q_B — количество продукции, выпускаемой Bilge, а Q_C — количество продукции Chem (в обоих случаях оно измеряется в литрах). В настоящее время обе компании рассматривают возможность инвестиций в новое оборудование для разлива напитков в бутылки, которое позволит сократить переменные издержки.

a) Если компания j решит не инвестировать, ее затраты составят C_j = Q²_j / 2, где j обозначает либо B (Bilge), либо C (Chem).

b) Если компания j решит инвестировать, ее затраты составят C_j = 20 + Q²_j / 6, где j обозначает либо B (Bilge), либо C (Chem). Эта новая функция издержек отображает фиксированную стоимость оборудования (20), а также более низкие переменные издержки.

Две компании принимают решения об инвестициях одновременно, но выигрыш в этой игре в инвестиции будет зависеть от игр в дуополию, которые возникнут впоследствии. Следовательно, игра состоит из двух этапов: сначала принять решение об инвестициях, а затем играть в дуополию.

a) Предположим, обе компании решают инвестировать. Запишите функции их прибыли, выраженные через Q_B и Q_C, и найдите с их помощью равновесия Нэша в игре с определением количества. Чему равны количество и прибыль обеих компаний при таком равновесии? Какова рыночная цена?

b) Допустим, обе компании решают не инвестировать. Чему равно количество продукции и прибыль обеих компаний при таком равновесии? Какова рыночная цена?

c) Теперь предположим, что компания Bilge решает инвестировать, а Chem — нет. Чему равно количество продукции и прибыль обеих компаний при таком равновесии? Какова рыночная цена?

d) Составьте таблицу два на два для игры в инвестиции между этими компаниями. В распоряжении каждой из них есть две стратегии: «инвестировать» и «не инвестировать». Выигрыши компаний — их прибыль, вычисленная в пунктах а, b и с. (Подсказка: обратите внимание на симметричность игры.)

e) Есть ли совершенное равновесие подыгры в этой двухэтапной игре в целом?

U12. Два французских аристократа, шевалье Шагрин и маркиз де Ренар, дерутся на дуэли. У каждого пистолет заряжен одной пулей. Находясь на расстоянии 10 шагов, они начинают идти навстречу друг другу, перемещаясь с одинаковой скоростью, по 1 шагу за один раз. После каждого шага один из них может выстрелить. Когда один из дуэлянтов стреляет, вероятность попасть в цель зависит от расстояния. После k шагов она составляет k/5, а значит, повышается с 0,2 после первого шага до 1 (определенность) после 5 шагов, когда соперники находятся напротив друг друга. Если один игрок выстрелит и промахнется, тогда как другому еще предстоит сделать выстрел, оба должны продолжать движение даже несмотря на то, что того, кто уже не может стрелять, ждет неминуемая смерть, — таковы правила кодекса чести аристократии. Каждый игрок получает выигрыш −1, если он сам будет убит, и 1, если будет убит его соперник. Если оба останутся живы или оба будут убиты, каждый получит выигрыш 0.

Это игра с пятью последовательными шагами и одновременными ходами (стрелять или не стрелять) на каждом шаге. Найдите совершенное равновесие подыгры в этой игре.