Стратегические игры

Подсказка: начните с шага 5, когда дуэлянты стоят прямо напротив друг друга. Составьте таблицу два на два для игры с одновременными ходами на этом этапе и найдите равновесие Нэша. Теперь перейдите к шагу 4, где вероятность попасть в цель составляет 4/5, или 0,8 для каждого игрока. Составьте таблицу два на два для игры с одновременными ходами на этом этапе, правильно указав в соответствующей ячейке, что произойдет в дальнейшем. Например, если один игрок стреляет и промахивается, а другой не стреляет, то другой подождет, пока сможет сделать пятый шаг, и точно попадет в цель. Если ни один из игроков не стреляет, тогда игра перейдет на следующий этап, по которому вы уже нашли равновесие. С помощью всей этой информации определите выигрыши в таблице два на два на шаге 4 и найдите равновесие Нэша на этом этапе. Для поиска равновесных стратегий всей игры проанализируйте оставшиеся шаги в обратном порядке.

U13. Опишите пример конкуренции между компаниями, аналогичный по своей структуре дуэли из упражнения U12.

Глава 7. Игры с одновременными ходами: смешанные стратегии

* * *

В ходе анализа игр с одновременными ходами в главе 4 мы столкнулись с целым классом игр, нерешаемых посредством описанных там методов. Дело в том, что в играх этого класса нет равновесий Нэша в чистых стратегиях, и для того чтобы определить исход таких игр, необходимо расширить концепции стратегии и равновесий. Это можно сделать с помощью рандомизации ходов, которая и будет в центре внимания в данной главе.

Рассмотрим игру в розыгрыш очка в теннисе, описанную в конце главы 4. Это игра с нулевой суммой, в которой интересы двух теннисисток прямо противоположны. Эверт стремится направить обводящий удар в любую сторону — по линии (ПЛ) или по диагонали (ПД), — не прикрытую Навратиловой, тогда как Навратилова старается прикрыть именно ту сторону, в которую Эверт сделает удар. В главе 4 мы отметили, что в такой ситуации Навратилова сможет использовать любой системный выбор Эверт себе на пользу, а значит, во вред Эверт. Со своей стороны, Эверт может использовать любой системный выбор Навратиловой. Для того чтобы этого избежать, каждая теннисистка пытается держать соперницу в неведении с помощью бессистемных или случайных действий.

Однако хаотичность действий не означает выбора каждого типа удара в половине случаев или их чередование. Чередование ударов уже само по себе было бы системным действием, которое можно использовать, поэтому случайная комбинация действий в соотношении 60 на 40 или 75 на 25 (в зависимости от ситуации) может быть лучше, чем 50 на 50. В данной главе мы рассмотрим методы расчета наилучшей комбинации ходов, а также обсудим, как эта теория поможет нам понять фактический ход таких игр.

Наш метод вычисления лучшей комбинации применим также к играм с ненулевой суммой. Однако в них интересы игроков частично совпадают, поэтому когда игрок Б использует системный выбор игрока А с выгодой для себя, это не всегда вредит игроку А. Следовательно, в играх с ненулевой суммой логика действий, согласно которой другого игрока следует держать в неведении, более слабая или вообще отсутствует. Мы поговорим о том, имеют ли равновесия в смешанных стратегиях смысл в таких играх и когда именно это происходит.

Начнем главу с анализа смешивания стратегий в играх два на два, а также с самого прямого метода поиска наилучших ответов и равновесия в смешанных стратегиях. Многие концепции и методы, которые мы сформулируем в разделе 2, сохранят свою актуальность и в более общих играх, а в разделе 6 и разделе 7 их область применения распространится на игры, участники которых могут иметь свыше двух чистых стратегий. В конце мы выскажем ряд общих наблюдений по поводу смешивания стратегий на практике, а также приведем некоторые эмпирические данные о том, присутствует ли такое смешивание стратегий в реальной жизни.

1. Что такое смешанная стратегия

Когда игроки предпочитают действовать бессистемно, они делают случайный выбор из имеющихся чистых стратегий. В игре в розыгрыш очка в теннисе Навратилова и Эверт выбирают одну из двух заданных чистых стратегий, ПЛ или ПД. Мы называем случайную комбинацию этих двух стратегий смешанной стратегией.