Стратегические игры

[50q + 80(1 — q)]p + [90q + 20(1 — q)] (1 — p) = [90q + 20(1 — q)] + [50q + 80(1 — q) — 90q — 20(1 — q)]p = [20 + 70q] + [60 — 100q]p.

Используем этот ожидаемый выигрыш для поиска значений наилучших ответов p Эверт.

Мы пытаемся определить значение p, максимизирующее выигрыш Эверт при каждом значении q, поэтому основной вопрос состоит в том, как формула расчета ожидаемого выигрыша зависит от p. Здесь важную роль играет коэффициент перед p: [60 –100 q]. В частности, имеет значение положительный он (тогда ожидаемый выигрыш Эверт увеличивается по мере увеличения p) или отрицательный (тогда ожидаемый выигрыш Эверт уменьшается по мере увеличения p). Очевидно, что знак этого коэффициента зависит от значения q, причем q имеет критическое значение в случае, когда 60 — 100q = 0; то есть q равно 0,6.

Когда при q < 0,6 Навратиловой коэффициент [60 — 100q] имеет положительное значение, ожидаемый выигрыш Эверт увеличивается по мере повышения значения p и ее наилучший выбор p = 1, или чистая стратегия ПЛ. Аналогичным образом при q > 0,6 Навратиловой наилучший выбор Эверт — p = 0, или чистая стратегия ПД. Если q = 0,6, Эверт получит один и тот же ожидаемый выигрыш независимо от значения p; при этом любая комбинация стратегий ПЛ и ПД так же эффективна, как и любая другая: любое значение p в диапазоне от 0 до 1 может быть наилучшим ответом. Кратко сформулируем эти выводы, для того чтобы использовать их в будущем.

Если q < 0,6, наилучший ответ p = 1 (чистая стратегия ПЛ).

Если q = 0,6, любая p-комбинация будет наилучшим ответом.

Если q > 0,6, наилучший ответ p = 0 (чистая стратегия ПД).

Для быстрого подтверждения этих интуитивных выводов заметим, что при низком значении q (Навратилова с достаточно низкой вероятностью будет прикрывать удар ПЛ) Эверт следует выбрать ПЛ, а при высоком значении q (Навратилова с достаточно высокой вероятностью будет прикрывать удар ПЛ) — ПД. Точное значение этой «достаточности», а значит, и точка перехода на другую стратегию q = 0,6 зависят от конкретных выигрышей в данном примере[92].

Мы уже говорили о том, что смешанные стратегии — это просто особый тип непрерывной стратегии, в которой вероятность играет роль непрерывной переменной. Теперь мы нашли наилучшее значение p Эверт, соответствующее каждому значению q, выбранному Навратиловой. Иными словами, определили правило наилучших ответов Эверт, которое можно отобразить на графике так же, как мы это делали в главе 5.

Этот график расположен в левом фрагменте рисунка 7.2, где значения q показаны на горизонтальной оси, а значения p — на вертикальной. Обе вероятности ограничены диапазоном от 0 до 1. Если q меньше 0,6, p имеет максимальное значение 1; если q больше 0,6, p имеет минимальное значение 0. При q = 0,6 все значения p от 0 до 1 в равной степени наилучшие для Эверт, поэтому наилучший ответ — вертикальная линия, находящаяся между 0 и 1. Этому графику наилучших ответов присуща своя особенность: в отличие от непрерывно восходящих или нисходящих прямых или кривых линий в главе 5, данный график плоский в двух интервалах значений q и опускается за один шаг в точке сопряжения этих интервалов. Тем не менее в концептуальном смысле он ничем не отличается от любого другого графика наилучших ответов.

Рис. 7.2. Наилучшие ответы и равновесие в игре в теннис

Аналогичным образом можно вычислить правило наилучших ответов Навратиловой (ее наилучшую q-комбинацию, соответствующую каждой из p-комбинаций Эверт). Мы предлагаем вам сделать это самостоятельно, чтобы закрепить понимание самой концепции и алгебраических вычислений. Кроме того, вы должны проверить правильность интуитивных выводов в отношении выбора Навратиловой так, как мы это делали для Эверт. Мы же просто приведем здесь полученный результат.

Если p < 0,7, наилучший ответ q = 0 (чистая стратегия ПД).

Если p = 0,7, любая q-комбинация будет наилучшим ответом.

Если p > 0,7, наилучший ответ q = 1 (чистая стратегия ПЛ).

График этого правила наилучших ответов Навратиловой расположен в среднем фрагменте рис. 7.2.

В правом фрагменте рис. 7.2 объединены графики из двух соседних фрагментов, причем левый график отражен по диагонали (линия p = q) с тем, чтобы значения p оказались на горизонтальной оси, а значения q — на вертикальной, после чего совмещен со средним графиком. Теперь серые и черные линии пересекаются в одной точке, где p = 0,7, а q = 0,6. В этой точке выбор смешанной стратегии каждым игроком будет наилучшим ответом на выбор другого игрока, поэтому данная пара образует равновесие Нэша в смешанных стратегиях.