Стратегические игры

В широком смысле вероятность — это степень возможности наступления определенного события или совокупности событий. Возможность того, что вы извлечете карту пиковой масти из колоды карт, — просто вероятность наступления события «вытащить пику». В данном случае крупное множество содержит 52 элемента (общее количество в равной степени вероятных возможностей), а событие «вытащить пику» соответствует подмножеству, состоящему из 13 конкретных элементов. Таким образом, у вас есть 13 шансов из 52 вытащить пику, а значит, вероятность сделать это за один раз равна 13/52 = 1/4 = 25 %. Данную ситуацию можно представить себе иначе: у вас есть четыре масти по 13 карт в каждой, следовательно, ваш шанс извлечь карту определенной масти составляет один к четырем, или 25 %. Если бы вы тащили карту несколько раз (каждый раз из полной колоды карт), то из 52 попыток вы не всегда вытаскивали бы пику в точности 13 раз; по воле случая вы порой вытаскивали бы на несколько больше, а иногда на несколько меньше пик. Однако когда извлечение карт из колоды выполняется многократно, существуют разные множества из 52 попыток и этот шанс усредняется. В таком случае вероятность 25 % представляет собой среднее значение частоты вытаскивания карты пиковой масти в большом количестве наблюдений[112].

В алгебре вероятностей все эти идеи сформулированы в общих терминах и выражены формулами, которые вы сможете использовать автоматически вместо того, чтобы каждый раз анализировать все с нуля. Мы обсудим эти формулы вычисления вероятностей в контексте вопросов, которые можно задать в случае вытаскивания карт из стандартной колоды (или из двух колод — с синими и зелеными рубашками)[113]. Этот метод позволит нам предоставить вам как конкретные, так и общие формулы, которые вы сможете применить в будущем. Аналогия с извлечением карт поможет вам проанализировать другие вопросы, касающиеся вероятностей, возникающие в иных контекстах. Обратите внимание на следующее: в обычном языке принято выражать вероятности в процентах, но в алгебраических формулах их следует записывать в виде простых или десятичных дробей, то есть вместо 25 % должно быть 13/52, или 0,25. Мы будем использовать разные способы представления вероятностей в зависимости от ситуации, но вы должны отдавать себе отчет, что во всех этих случаях смысл один и тот же.

А. Правило сложения вероятностей

Первый наш вопрос будет звучать так: если бы нам понадобилось вытянуть одну карту из синей колоды, с какой вероятностью мы извлекли бы карту пиковой масти? И какова вероятность того, что она была бы не пикой? Мы уже знаем, что вероятность вытащить пику составляет 25 % (мы определили это ранее). Но какова вероятность вытащить не пику? Она равна вероятности извлечь трефу, черву или бубну вместо пики. Очевидно, что интересующая нас вероятность должна быть больше любой из отдельных вероятностей, из которых она состоит; на самом деле эта вероятность равна 13/52 (трефы) + 13/52 (бубны) + 13/52 (червы) = 0,75. Слово «или» в нашей вербальной формулировке ответа на вопрос указывает на то, что эти вероятности необходимо суммировать, поскольку мы хотим знать шансы вытащить карту из всех этих трех мастей.

Существует и более простой способ ответить на второй вопрос: отметить, что вытаскивание карты не пиковой масти происходит в оставшихся 75 % случаев. Таким образом, вероятность вытащить не пику составляет 75 % (100 % минус 25 %) или, в более формальном виде, 1 − 0,25 = 0,75. Как часто бывает при вычислении вероятностей, в данном примере один и тот же результат можно получить двумя разными путями, требующими разных размышлений о событии, вероятность которого мы пытаемся найти. Чуть ниже в данном приложении мы увидим и другие примеры, показывающие, что разные методы вычисления вероятностей порой требуют совершенного разного количества усилий. По мере накопления опыта вы откроете для себя и запомните легкие способы или более короткие пути. А пока утешайте себя тем, что каждый из этих путей, если ему неукоснительно следовать, ведет к получению одного и того же конечного результата.