Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Теорема Пифагора, изложенная в «Атлантическом кодексе» Леонардо да Винчи (Амброзианская библиотека, Милан).

Фрагмент готического рельефа из собора в Шартре с изображением свободных искусств. Фигура слева представляет Пифагора.

Главное ограничение греческой математики, очевидно, состояло в ее неспособности принять идею иррациональных чисел. Это замедлило развитие арифметики и алгебры и вызвало еще большие трудности, поскольку греки в результате свели математику к геометрии, так как геометрические рассуждения не нуждались в таком иррациональном концепте, как число. Из этого проистекало вынужденное разделение числа и величины, в результате которого алгебра и геометрия на долгие века стали восприниматься как дисциплины, не имеющие ничего общего. Кроме того, греческая геометрия была довольно ограниченной. Древние принимали во внимание только те геометрические концепции, которые они могли выстроить в действительности, то есть те, которые могли существовать или быть нарисованы с использованием линейки и циркуля (при этом не допускалось использование линейки с какими-нибудь отметками на ней). Таким образом, геометрия ограничивалась фигурами, которые можно было получить с помощью прямой и круга. Единственными допустимыми поверхностями были те, которые образовывались вращением прямых и кругов вокруг оси, такие как цилиндр, конус и шар, полученные соответственно вращением прямоугольника, треугольника и круга вокруг прямой; призма, являющаяся особой разновидностью цилиндра, или пирамида, которая получается путем разложения призмы. Конические сегменты были результатом сечения конуса плоскостью.

Все эти ограничения, оставляющие в поле зрения строго определенные фигуры, позволили развиться геометрии простой, упорядоченной, гармоничной и красивой, но слишком строгой: утверждая единство, совершенство и простоту и отделяя созерцательную мысль от практической пользы, классическая греческая геометрия ограничивала взгляд математиков, удерживала их разум от новых идей и методов и ставила непреодолимые пределы для новых достижений.

Неспособность принять иррациональные числа как достойные рассмотрения привела к тому, что вопрос числового выражения несоизмеримых соотношений, которым могла бы заняться арифметика, остался открытым. Концепция иррационального числа могла бы расширить и инструментарий алгебры, а вместо этого для решения квадратных или других уравнений приходилось прибегать к геометрии. Все эти задачи могли решаться в числовом виде, и тогда алгебра получила бы развитие по сравнению с тем положением, в котором ее оставили вавилоняне.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ

Второе ограничение греческой науки состояло в том, что ей так и не удалось осознать понятия бесконечно большого, бесконечно малого и бесконечного процесса. Пифагорейцы связывали добро и зло с ограниченностью и неограниченностью соответственно. Избегая каких-либо заявлений о бесконечности прямой линии, Евклид в «Началах» утверждает, что отрезок при необходимости может быть продлен до нужных пределов. Что касается соотношения между точкой и прямой, то Аристотель настаивал на разделении этих понятий. С одной стороны, он признавал, что точки лежат на прямой, а с другой — утверждал, что непрерывная прямая не может быть образована из дискретных точек.

Даже в области целых чисел и их соотношений у греков не было никакой логической базы: ее заменяли некоторые неточные определения Евклида. Необходимость в логическом фундаменте числовой системы стала, однако, критической, когда александрийцы начали свободнее использовать числа, включая иррациональные.