Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Такая постановка задачи приводит к следующему выводу: при умножении общей единицы и на некое целое число п должна получиться длина стороны 1 = nu, а при умножении ее на другое целое число m получается длина диагонали √2 = mu. Следовательно, должно быть верно следующее:

Иными словами, соизмеримость предполагает, что √2 представляет собой дробь вида m/n, где m и n — целые положительные числа. Идя по этому пути, пифагорейцы столкнулись с весьма неприятным результатом: они выяснили, что существуют числа, которые невозможно выразить через отношение целых чисел, и это открытие было несовместимо с их идеей универсальной арифметики. Последователи учителя назвали соизмеримыми соотношениями те, которые можно было выразить целыми числами, что означало, что обе величины могли быть измерены некоей общей единицей, а остальные — несоизмеримыми соотношениями.

Таким образом, то, что в современной математике выражается как

√2/2,

есть несоизмеримое соотношение.

ПЕНТАГРАММА ГИППАСА

История Гиппаса с ее совершенной фабулой, включая драматический финал, сочетает в себе элементы, которым позавидовал бы любой писатель: простой квадрат таит в себе семена разрушения, недальновидный член братства открывает ящик Пандоры... На самом деле не существует доказательств, что эти факты действительно имели место, и невозможно утверждать, что именно Гиппас открыл несоизмеримость квадрата. Еще одна легенда приписывает ему совсем другое доказательство существования несоизмеримости. В истории он остался человеком, который предъявил публике шар, составленный из 12 пятиугольников. Правильный пятиугольник — это математическая фигура, на которой относительно легко продемонстрировать свойство несоизмеримости, особенно с помощью древнего метода бесконечного спуска, который имел фундаментальное для греческой математики значение. С его помощью находили, к примеру, наибольший общий делитель двух чисел.

Метод состоит в следующем: даны две различные величины (a, b), где a < b, и из большей вычиталась меньшая; получалась новая величина b — a, и она вычиталась из a, и так далее. Эта процедура неприменима к паре величин (a и b), если они несоизмеримы. Когда a и b представляют собой натуральные числа, можно определить их наибольший общий делитель (НОД). Данная процедура, называемая евклидовым алгоритмом, всегда конечна и приводит к точному результату. Если процедура бесконечна, то наибольшего общего делителя не существует, и величины несоизмеримы. Эта теорема — мы не будем ее здесь приводить — была доказана Евклидом в книге X «Начал»: «Если даны две величины, и при последовательном вычитании меньшей из большей остаток никогда не сравняется с предыдущей величиной, то эти две величины несоизмеримы ».

Демонстрация существования несоизмеримых отрезков в пентаграмме.

Как видно на рисунке, диагонали правильного пятиугольника образуют другой правильный пятиугольник и так далее. Для цепочки пятиугольников, получаемых с помощью такого процесса, действительны отношения АЕ =АВ' и B'D =В'Е, где AD - АЕ = В'Е и аналогичным образом АЕ = ED' = ЕА' и В'Е' = B'D = Β'Έ, следовательно, АЕ - Β'Έ' = В'А', и так далее до бесконечности.

Из этого можно вывести, что:

— разница между диагоналями и сторонами большего пятиугольника такая же, как у меньшего пятиугольника;

— разница между сторонами большего пятиугольника и диагоналями меньшего равна сторонам меньшего пятиугольника;

— разница между диагоналями меньшего пятиугольника и его сторонами снова равна диагоналям следующего меньшего треугольника и так далее.

Эта процедура бесконечного спуска никогда не завершится, и, соответственно, невозможно найти наибольшую общую величину для диагоналей и сторон правильного пятиугольника, следовательно, взаимно несоизмеримые отрезки существуют.

Некоторые исследования показывают, что доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата относится к более позднему времени, чем эпоха пифагорейцев, так как оно более изощренное, чем метод бесконечного спуска. Квадрат с его диагоналями лишь потом позволили констатировать наблюдение, уже замеченное в других примерах, таких как пентаграмма.

НЕСОИЗМЕРИМЫЙ ЕВКЛИД

В книге X «Начал» Евклид берется за задачу классификации иррациональных чисел по типам: в этом тексте содержится 115 предложений, хотя наиболее древние издания добавляют к ним предложения 116 и 117. Это последнее представляет доказательство иррациональности на основе теоремы о четных и нечетных числах с применением теоремы Пифагора, где оно излагается так же, как и в наше время во многих книгах на эту тему.

По словам Евклида, согласно теореме Пифагора, в равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату каждого из катетов. Если длину катета считать за 1, какой будет длина гипотенузы?

Предположим, что ее длина составляет т/п метров:

m2/n2 = 2