Tertium Organum: ключ к загадкам мира, изд. 2-е

«А есть А»,

«А не есть не А»,

«Всякая вещь есть или А, или не А»

вполне соответствуют основным аксиомам математики, аксиомам тождества и противоречия:

Всякая величина равна самой себе;
Часть меньше целого;
Две величины, равные порознь третьей,
равны между собой

и т. д.

Сходство аксиом математики и логики идёт очень глубоко, и это позволяет сделать заключение об их одинаковом происхождении.

Законы математики и законы логики — это законы отражения феноменального мира в нашем сознании.

Как аксиомы логики могут оперировать только с понятиями и относятся только к понятиям, так аксиомы математики могут оперировать только с конечными и постоянными величинами и относятся только к ним.

По отношению к бесконечным и переменным величинам эти аксиомы неверны так же, как аксиомы логики неверны по отношению к эмоциям, к символам, к музыкальности и к скрытому значению слова.

Что это значит?

Это значит, что аксиомы логики и математики выведены нами из наблюдения явлений, то есть феноменального мира, и представляют собой известную условную неправильность, нужную для познания [нашего] нереального мира.

* * *

Раньше было указано, что у нас, собственно, есть две математики. Одна — математика конечных и постоянных чисел, [которая] представляет собой совершенно искусственное построение для решения задач на условных данных. Главное из этих условных данных заключается в том, что в задачах этой математики всегда берётся только t вселенной, то есть берётся только один разрез вселенной, который никогда не смешивается с другим разрезом. Таким образом, математика конечных и постоянных величин изучает искусственную вселенную, и сама по себе есть нечто, специально созданное на основании нашего наблюдения явлений и служащее для облегчения этих наблюдений. Дальше явлений математика конечных и постоянных чисел пойти не может. Она имеет дело с воображаемым миром, с воображаемыми величинами.

Другая — математика бесконечных и переменных величин, представляет собою нечто совершенно реальное, построенное на основании умозаключений о реальном мире.

Первая относится к миру феноменов, который представляет собою ничто иное, как наше неправильное восприятие мира.

Вторая относится к миру ноуменов, который представляет собою мир как он есть.

Первая — нереальна, существует только в нашем сознании, в нашем воображении.

Вторая реальна, выражает отношения реального мира.

* * *

Примером «реальной математики», нарушающей основные аксиомы нашей математики (и логики), являются так называемые трансфинитные числа.

Трансфинитными числами, как показывает их название, называются числа за бесконечностью.

Бесконечность, изображённая знаком ∞ есть математическое выражение, с которым, как с таковым, можно производить все действия: делить, множить, возводить в степень. Бесконечность можно возвести в степень бесконечности, будет ∞^∞. Эта величина в бесконечное число раз больше простой бесконечности. И в то же время они равны: ∞ = ∞^∞. Вот это и есть самое замечательное в трансфинитных числах. Вы можете производить с ними какие угодно действия, они будут соответствующим образом изменяться, оставаясь в то же время равными. Это нарушает основные законы математики, принятые для конечных, финитных, чисел. Изменившись, конечное число уже не может быть равно самому себе. А здесь мы видим, как, изменяясь, трансфинитное число остаётся равным самому себе.

При этом трансфинитные числа совершенно реальны. Выражениям ∞ и даже ∞^∞ и ∞^∞^∞ мы можем найти соответствующие примеры в реальном мире.

Возьмём линию, любой отрезок линии. Мы знаем, что число точек в этой линии равно бесконечности, потому что точка измерения не имеет. Если наш отрезок равен вершку, и рядом с ним мы представим себе отрезок в версту, то каждой точке в большом отрезке будет соответствовать точка в малом. Число точек в отрезке, равном вершку, бесконечно. Число точек в версте тоже бесконечно. Получается ∞ = ∞.

Представим теперь себе квадрат, сторону которого составляет данная линия а. Число линий в квадрате бесконечно. Число точке в каждой линии бесконечно. Следовательно, число точек в квадрате равно бесконечности, помноженной сама на себя бесконечное число раз: ∞^∞. Эта величина, несомненно, бесконечно больше первой ∞. И в то же время они равны, как равны все бесконечные величины, потому что, если есть бесконечность, то она одна и не может меняться.

На полученном квадрате а² представим себе куб. Этот куб состоит из бесконечного числа квадратов, так же как квадрат состоит из бесконечного числа линий, а линия — из бесконечного числа точек. Следовательно, число точек в кубе а³ равно ∞^∞^∞; это выражение равно выражению ∞^∞ и ∞, то есть это значит, что бесконечность продолжает возрастать, в то же время оставаясь неизменной.

* * *