Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Разумеется, не все натуральные числа являются числами Гёделя для какой-либо формулы, но даже если кто-то скажет нам, что какое-либо число не соответствует никакой формуле арифметики, мы мгновенно сможем это проверить. Например, 15 = 3·5 не является числом Геделя для какой-либо формулы, так как по условиям «гёделизации» разложение числа на простые множители должно обязательно содержать первые простые числа без пропусков, а в разложении 15 отсутствует число 2. Число 1536 = 2⁹·3 также не соответствует никакой формуле арифметики: хотя в его разложении присутствуют первые простые числа без пропусков, число 9 не соответствует ни одному из символов алфавита.

Подведем итог: описанная система кодификации позволяет сопоставить любой формуле (и любому доказательству) арифметики число, кодирующее всю ее структуру целиком. Кроме того, эта «математическая реакция» является обратимой в том смысле, что, разложив произвольное натуральное число N на простые множители, можно определить следующее.

1. Является ли N числом Гёделя для некоторой формулы.

2. Если число N соответствует некоторой формуле, то какой именно.

* * *

ГЁДЕЛЬ В ЛИТЕРАТУРЕ

В романе «Новые признания» (The new confessions) Уильяма Бойда главный герой снимает шедевр немого кино, однако его премьера остается незамеченной, так как в то же самое время появляются первые звуковые короткометражные фильмы. Лишь Курт Гёдель, который мимолетно появляется на страницах романа, признает талант режиссера.

В романе мексиканского писателя Хорхе Вольпи «В поисках Клингзора», опубликованном на десять лет позже, подруга главного героя, физика по имени Фрэнсис Бэкон, врывается на семинар Гёделя в Институте перспективных исследований и начинает кричать на него, обвиняя в неверности. Когда действие переносится в последние ряды аудитории, «профессор Гёдель объявляет, что не может продолжать занятия, и безудержно заливается слезами». Главным его конфликтом, объясняет автор устами фон Неймана, были не формально неразрешимые предложения, а «терзания от любви к проститутке — собственной жене». Эпизод «Новых признаний» выглядит правдоподобным, но сцена, описанная Вольпи, и жестока, и неправдоподобна.

Писатель Уильям Бойд сделал Курта Гёделя одним из героев своего романа «Новые признания».

* * *

Доказательство теорем о неполноте

Хотя мы уделили немало времени объяснениям гениального метода нумерации, на создание которого Гёделя вдохновили труды Лейбница, не следует забывать, что этот метод — лишь средство достижения цели: доказать, что в любой непротиворечивой и рекурсивно перечислимой системе аксиом существуют истинные, но недоказуемые высказывания. В начале этой главы мы указали, по какой схеме должно выполняться это доказательство: в парадоксе лжеца нужно заменить понятие истинности понятием доказуемости и получить самоотносимое утверждение, которое гласит: «я недоказуемо». Если противоречия не допускаются, то это утверждение должно быть истинным, следовательно, недоказуемым. Основная сложность, как мы уже указывали, заключается в том, чтобы найти арифметический эквивалент этого утверждения на метаязыке, в котором речь идет не о числах, а о математических теориях. Теперь в нашем распоряжении есть все необходимые методы, позволяющие это сделать. Далее мы попытаемся изложить важнейшие этапы доказательства Геделя максимально простым языком.