Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Теперь перейдем к первому этапу нашей гонки с препятствиями и рассмотрим формулы, которым соответствуют числа Гёделя k₁, k₂,… k_n . Именно здесь обязательно должно выполняться условие рекурсивной перечислимости системы аксиом арифметики — ранее это условие казалось не более чем причудой. Напомним, что множество аксиом S является рекурсивно перечислимым, когда за конечное число шагов можно показать, является некоторое высказывание аксиомой или нет. Следовательно, в нашем распоряжении находится формула А(х) (А — по первой букве слова «аксиома»), которая для любого числа х позволяет определить, является ли соответствующее ему высказывание аксиомой. Достаточно вычислить А(k₁), А(k₂)… А(k_n), и мы узнаем, какие из высказываний предполагаемого доказательства являются аксиомами. Первая формула, которой соответствует число Гёделя обязательно должна быть аксиомой, так как ей не предшествуют формулы, из которых ее можно было бы вывести. Следовательно, если результат А(k₁) случайно окажется ложным, дальнейшие действия не потребуются: z не является числом Гёделя, соответствующим доказательству. Предположим, что этого не произошло.

Некоторые из следующих формул, которым соответствуют числа k₂, k₃,… k_n  будут аксиомами, другие — нет. Для тех, что не являются аксиомами, нужно показать, что они выводятся из предыдущих высказываний по допустимым правилам вывода. В своей скрупулезно выполненной работе Гёдель доказывает, что для каждого правила вывода существует формула I, которая для первых s чисел k₁, k₂,… k_s возвращает результат «истина», если формула, обозначаемая числом Гёделя k_s, выводится из формул, обозначаемых числами Гёделя k₁, k₂,… k_s -1 (предшествующей формулы), по соответствующему правилу вывода. Например, I(k₁, k₂, k₃, k₄) будет истинной, если четвертая формула последовательности выводится из трех предыдущих по правилу вывода, обозначаемому формулой I. Таким образом, этот процесс можно выполнить для формул, которые не являются аксиомами, и если для каждой из них формула, обозначающая хотя бы одно из правил вывода, вернет значение «истина», то первый этап будет успешно завершен, и z будет числом Гёделя, обозначающим доказательство. Так как здесь нетрудно запутаться в технических деталях, выделим главное: нужно запомнить, что мы доказали существование процесса D(х, z), определяющего, является ли последовательность формул, обозначаемая числом z, доказательством высказывания, которому соответствует число Гёделя х.

Для этого достаточно выразить в виде отношений между числами правила, которым должно удовлетворять доказательство, что мы уже не раз повторили.

Отлично: в рамках арифметики мы сформулировали высказываниеDem (х), которое гласит: «формула, выражаемая числом Гёделя х, доказуема». Отрицанием этой формулы будет ¬ Dem (х), которая звучит так: «формула, выражаемая числом Гёделя х, недоказуема». Пока что все абсолютно понятно, но мы постепенно приближаемся к тому, чтобы совершить своеобразное сальто-мортале. Сначала следует напомнить, что высказывание «арифметика является непротиворечивой», которое фигурирует во второй теореме о неполноте, равносильно высказыванию «формула 0 = 1 недоказуема». Напомним также, что 1 является числом, следующим за нулем, то есть 1 = s0. Предлагаем читателю убедиться, что число Гёделя для формулы 0 = 1 равно 255150. Следовательно, высказывание ¬ Dem (255150), переведенное на язык арифметики, гласит, что «формула, обозначаемая числом Гёделя 255150, недоказуема», то есть «формула 0 = 1 недоказуема», что равносильно высказыванию «арифметика непротиворечива». Высказывание ¬ Dem (х) позволяет убить сразу двух зайцев.

Важность выражения ¬ Dem (х) заключается в том, что это уже не высказывание на повседневном языке, а арифметическая формула, в которой используются только символы 0, s, ¬, V, =, (, ) и некоторые переменные. Буквы «Dem» — это лишь сокращенный способ записи этого выражения, так как его полная запись очень сложна и занимает не одну страницу. Однако если мы захотим найти его полную запись, то сможем сделать это, используя исключительно символы алфавита арифметики. И ради этого мы потратили столько сил! У нас нет никаких сомнений, что теперь читатель знает, что нужно сделать всякий раз, когда ему встретится записанная в таком виде формула: ее нужно записать согласно гёделевской нумерации. Сопоставим выражению ¬ Dem (х) число Гёделя, которое обозначим d. Возможно, это число будет настолько большим, что во всем мире не хватит чернил, чтобы записать его, однако его размер совершенно не важен — главное, что это число будет конечным.