Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Вся структура высказывания «формула, обозначаемая числом Гёделя х, недоказуема», содержится в единственном числе d. Параметр х не фиксирован, он не равняется, например, 14 451937 500, а может принимать любые значения. Но если этот параметр может принимать любые значения, почему бы умышленно не принять х равным d? В этом случае мы получим высказывание ¬ Dem (d), которое гласит, что «формула, выражаемая числом Гёделя d, недоказуема», но так как d, в свою очередь, является числом Гёделя, обозначающим высказывание «формула, выражаемая числом Гёделя х, недоказуема», ¬ Dem (d) преобразуется в высказывание «формула „формула, выражаемая числом Геделя х, недоказуема" недоказуема». Нетрудно видеть, что это высказывание означает не что иное, как «я недоказуемо»[4].

* * *

НЕПОЛНОТА ЗАМОЩЕНИЙ

Замощение плоскости — это покрытие ее «облицовочной плиткой» определенной формы без промежутков и наложений. Исламское искусство содержит прекраснейшие образцы замощений, но они встречаются и в природе: так, пчелиные соты представляют собой оптимальное замощение плоскости шестиугольниками. Оно необязательно должно быть правильным: возможно, существуют другие, непериодические замощения, не обладающие какой-либо симметрией.

В 70-е годы логик Хао Ван (1921–1995) обнаружил, что если вопрос о замощении плоскости является неразрешимым в том же смысле, в каком нельзя ни доказать, ни опровергнуть высказывание «я недоказуемо», то подобные непериодические замощения плоскости существуют. Так как возможность существования подобных замощений показалась ему полностью абсурдной, он сделал вывод: этот вопрос обязательно должен быть разрешимым. Однако несколько лет спустя один из его студентов доказал, что, используя 20426 плиток разной формы, можно получить непериодическое замощение плоскости. Эта величина понемногу уменьшалась, и в итоге было найдено непериодическое замощение плоскости, состоящее всего из двух плиток разной формы.

Слева — правильное замощение плоскости, образованное одинаковыми правильными многоугольниками подобно пчелиным сотам. Справа — пример непериодического замощения.

* * *

О чем не говорится в теоремах

Заключительный этап рассуждений, в котором мы доказали, что никакое непротиворечивое и рекурсивно перечислимое множество аксиом арифметики не может быть полным, очень точно воспроизводит сцену, когда ученики возвращаются из школы домой и плачут: «Мама, я никогда не буду логиком!», а остальные — «горсточка счастливцев», о которых писал Шекспир, — улыбаются до ушей. Мы хотим, чтобы читатель этой книги оказался в числе этих немногих. Хотя, возможно, нам не удалось достичь этой цели, и те, кто хочет закричать: «Мама, я никогда не буду логиком!» или отбросить книгу в сторону, поймут, что теоремы, о которых мы только что рассказали, не имеют ничего общего с фразой вида: «После того как Гёдель доказал, что не существует доказательства непротиворечивости арифметики Пеано, которое формулируется в терминах самой арифметики, политологи, наконец, поняли, почему следовало мумифицировать Ленина и выставить его на обозрение в Мавзолее».

Следует признать, что автор этой цитаты, французский эссеист Режи Дебре, известен своим воображением, но отнюдь не невежеством: он родился в 1940 году и изучал философию у Луи Альтюссера в Высшей нормальной школе Парижа. Он находился в тюремном заключении в Боливии, но был освобожден после начала международной кампании в его поддержку, в которой участвовали Жан-Поль Сартр и папа римский Павел VI — трудно найти более непохожих друг на друга людей. В свободное от политики время Дебре начал работу над своим трудом, сегодня насчитывающим около пятидесяти книг, среди которых «Происхождение политики», из которой и взята цитата о Ленине.