Трактат об электричестве и магнетизме

Таким образом, если V - потенциал в данной точке, обусловленный некоторой системой зарядов, которую мы обозначим (e), а V' - потенциал в той же точке, обусловленный другой системой зарядов, обозначаемой через (e'), то потенциал в этой точке, обусловленный одновременным наличием обеих систем зарядов, будет V+V'.

Следовательно, если каждый заряд системы увеличивается в отношении n к 1, то и потенциал в любой точке системы также изменяется в отношении n к 1.

Поэтому предположим, что внесение заряда в систему происходит следующим образом. Пусть сначала система не заряжена и находится под нулевым потенциалом и пусть все части системы заряжаются одновременно со скоростью, пропорциональной их окончательному заряду.

Так, если e - окончательное значение заряда, а V - окончательное значение потенциала какой-либо части системы, то если на некотором этапе этого процесса заряд равен ne то и потенциал равен nV, и мы можем описать весь процесс зарядки как непрерывное увеличение n от 0 до 1.

Когда n меняется от n до n+n, каждая часть системы, окончательный заряд которой равен e, а окончательный потенциал V увеличивает свой заряд на en, а поскольку её потенциал равен nV то совершаемая над ней работа равна eVnn.

Отсюда полная работа, совершаемая при зарядке системы, равна

(eV)

1

0

nn

=

1

2

(eV)

,

(2)

т.е. полусумме произведений зарядов различных частей системы на соответствующие им потенциалы.

Такова работа, затрачиваемая внешним источником при зарядке системы описанным нами способом, но поскольку система консервативная, то работа, затрачиваемая на приведение системы в это же состояние любым другим способом, будет той же.

Поэтому мы называем величину

W

=

1

2

(eV)

(3)

электрической энергией системы, выраженной через заряды различных частей системы и их потенциалы.

85 а. Предположим теперь, что система переходит из состояния (e,V) в состояние (e',V') таким образом, что различные заряды одновременно изменяются со скоростями, пропорциональными их полному приращению e'-e.

Если в какой-либо момент заряд определённой части системы равен e+n(e'-e), то её потенциал равен V+n(V'-V), а работа, совершенная при изменении заряда этой части системы, равна

1

0

(e'-e)

[V+n(V'-V)]

en

=

1

2

(e'-e)

(V'+V)

,

так что если W - энергия системы в состоянии (e',V'), то

W'-W

=

1

2

(e'-e)

(V'+V)

.

(4)

Но

W

=

1

2

(e,V)

,

и

W'

=

1

2

(e',V')

.

Подставляя эти значения в (4), получим

(e,V')

=

(e',V)

.

Таким образом, если рассмотреть два различных состояния электризации одной и той же заданной системы заряженных проводников, то сумма произведений зарядов в первом состоянии на значения потенциалов соответствующих проводников во втором состоянии равна сумме произведений зарядов во втором состоянии на потенциалы соответствующих проводников в первом состоянии.

Это соотношение из элементарной теории электричества соответствует Теореме Грина из аналитической теории. Выбрав надлежащим образом начальное и конечное состояние системы, можно получить целый ряд полезных результатов.

85 б. Из (4) и (5) можно прийти к другому выражению для превращения энергии, где оно выражается через приращение потенциала:

W'-W

=

1

2

(e'-e)

(V'+V)

.

(6)

Для бесконечно малых приращений (4) и (6) запишутся в виде

dW

=

(Ve)

=

(eV)

.

(7)

Если обозначить через W_e и W_V выражения для W соответственно через заряды и через потенциалы системы, а через A_r, e_r, и V_r - один из проводников системы, его заряд и его потенциал, то

V

_r

=

(dW

_e

/de

_r

)

,

(8)

e

_r

=

(dW

_V

/dV

_r

)

.

(9)

86. Пусть в произвольно заданной системе проводников какой-либо из них, который мы обозначим через A_t, не имеет заряда ни в начальном, ни в конечном состоянии, тогда для этого проводника e_t=0 и e'_t=0, так что члены, соответствующие проводнику A_t, отсутствуют в обеих частях равенства (5).

Если какой-либо другой проводник, скажем A_t, имеет нулевой потенциал в обоих состояниях системы, то V_t=0, и V'_t=0, так что соответствующие проводнику A_t члены отсутствуют в обеих частях равенства (6).

Предположим теперь, что все проводники, за исключением двух, скажем A_r и A_s, либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, тогда уравнение (5) примет вид

e

_r

V'

_r

+

e

_s

V'

_s

=

e'

_r

V

_r

+

e'

_s

V

_s

.

(10)

Пусть в начальном состоянии e_r=1 и e_r=0, а в конечном e'_r=0 и e_r=1, тогда уравнение (10) примет вид

V'

_r

=

V

_s

,

(11)

т.е. если единичный заряд, сообщённый проводнику A_r повышает потенциал изолированного проводника A_s до V, то единичный заряд, сообщённый проводнику A_r, повышает потенциал изолированного проводника A_s до того же значения V при условии, что все остальные проводники системы либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, так что их потенциал равен нулю.

Здесь мы впервые встречаемся в области электричества с соотношением взаимности. Такие соотношения взаимности встречаются во всех областях знания и помогают нам часто находить решения новых задач по известным решениям более простых задач.