Читаем Трактат об электричестве и магнетизме полностью

Трактат об электричестве и магнетизме

Так, из того факта, что в точке вне проводящей сферы с единичным зарядом потенциал равен r^-1, где r - расстояние от центра сферы, мы заключаем, что малое тело с единичным зарядом, помещённое на расстоянии r от центра проводящей незаряженной сферы, подымает её потенциал до значения r^-1.

Предположим теперь, что в начальном состоянии V_r=1 и V_s=0 а в конечном V'_r=0 и V_s=1, тогда уравнение (10) примет вид

(12)

т.е. если при повышении потенциала A_r до 1 на заземлённом проводнике A_s индуцируется заряд e, то при повышении потенциала A_s до 1 на заземлённом проводнике A_r индуцируется такой же заряд e.

Наконец, сделаем третье предположение, что в начальном состоянии V_r=1, a e_s=0, а в конечном V_r=0, а e'_s=1; уравнение (10) принимает на этот раз вид

Таким образом, если при незаряженном проводнике A_s повышение потенциала A_r до 1 приводит к повышению потенциала A_s до V, то при заземлённом проводнике A_r единичный заряд, сообщённый A_s, индуцирует на проводнике A_r отрицательный заряд, численно равный V.

Во всех этих случаях часть остальных проводников может быть изолирована и не заряжена, остальные должны быть заземлены.

Третий рассмотренный случай является элементарной формой одной из теорем Грина. В качестве примера его применения предположим, что мы установили распределение электрического заряда на различных частях проводящей системы, находящейся под нулевым потенциалом, индуцированное единичным зарядом, сообщённым определённому телу системы A_s.

Пусть _r - заряд тела A_r при этих условиях. Тогда, если предположить, что на A_s заряда нет, а остальным телам сообщены различные потенциалы, то потенциал тела A_s будет

(

)

(14)

Таким образом, если мы установили поверхностную плотность в любой точке полого проводящего сосуда, находящегося под нулевым потенциалом, обусловленную единичным зарядом, находящимся в заданной точке внутри сосуда, то, зная значение потенциала в каждой точке поверхности этого же размера и формы, что и внутренняя поверхность проводника, мы можем найти потенциал в точке внутри этой поверхности, где находился единичный заряд.

Следовательно, если потенциал известен во всех точках замкнутой поверхности, то его можно определить и в любой точке внутри, если внутри поверхности нет заряженных тел, и во всех точках снаружи, если снаружи нет заряженных тел.

Теория системы проводников

87. Пусть A₁, A₂, …, A_n - n проводников произвольной формы, e₁, e₂, …, e_n - их заряды, a V₁, V₂, …, V_n - их потенциалы. Пусть диэлектрическая среда, разделяющая проводники, остаётся неизменной и не заряжается при рассматриваемых ниже операциях.

В п. 84 было показано, что потенциал каждого проводника является однородной линейной функцией от n зарядов проводников. Следовательно, электрическая энергия системы, являющаяся полусуммой произведений потенциала каждого проводника на его заряд, должна быть однородной квадратичной функцией от n зарядов типа

e^2

+ …

(15)

Индекс e указывает, что W представлено как функция зарядов. W без индекса будет означать выражение (3), в которое входят и заряды и потенциалы.

Из выражения (15) можно найти потенциал любого проводника. Потенциал определяется как работа, необходимая для переноса единичного заряда из области нулевого потенциала в точку с данным потенциалом, а поскольку эта работа идёт на увеличение W, то достаточно продифференцировать W_e по заряду определённого проводника, чтобы найти его потенциал. Таким образом, получим систему n линейных уравнений

…

(16)

выражающих n потенциалов через n зарядов.

Коэффициенты p_rs называются коэффициентами потенциала. Каждый коэффициент имеет два индекса, первый из которых указывает на заряд, а второй - на потенциал.

Коэффициент p_rr с одинаковыми индексами показывает величину потенциала проводника A_r при единичном заряде на нём и при нулевых зарядах на всех остальных проводниках. Существует n таких коэффициентов по числу проводников.

Коэффициент p_rs с разными индексами показывает величину потенциала на проводнике A_s при единичном заряде на проводнике A_r и при нулевых зарядах всех остальных проводников, кроме A_r.

Мы уже показали в п. 86, что p_rs=p_sr. Мы можем доказать это сейчас короче, рассмотрев цепочку равенств

_rs

dV_s

de_r

dW_e

de_s

dW_e

de_r

_sr

(17)

Число различных коэффициентов с двумя отличающимися индексами равно, следовательно, n(n-1)/2, по одному для каждой пары проводников.

Решая уравнения (16) относительно e₁, e₂ и т. д., мы получим n уравнений, выражающих заряды через потенциалы