Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

где коэффициенты 𝐺₁,𝐺₂,… относятся к катушке, 𝑔₁,𝑔₂,… - к магниту, а 𝑃₁(θ),𝑃₂(θ),… - зональные гармоники, зависящие от угла между осями катушки и магнита, см. п. 700. Располагая определённым образом катушки гальванометра и составляя подвешенный магнит из нескольких магнитов, расположенных рядом друг с другом и на соответствующих расстояниях друг от друга, можно сделать так, что в выражении для 𝑀 все члены после первого будут пренебрежимо малы по сравнению с ним. Если мы положим также φ=½π-θ, то сможем написать

𝑀

=

𝐺𝑚

sin φ

,

(5)

где 𝐺 - главный коэффициент гальванометра, 𝑚 - магнитный момент магнита, φ - угол между осью магнита и плоскостью катушки, который в этом опыте всегда является малым.

Если 𝐿 - коэффициент самоиндукции катушки, 𝑅 - её сопротивление, а γ - ток в катушке, то

𝑑

𝑑𝑡

(𝐿γ+𝑀)

+

𝑅γ

=

0,

(6)

или

𝐿

𝑑γ

𝑑𝑡

+

𝑅γ

+

𝐺𝑚

cos φ

𝑑φ

𝑑𝑡

=

0,

(7)

Момент силы, с которым ток у действует на магнит, равен γ(𝑑𝑀/𝑑φ) или 𝐺𝑚γ cos φ. В этом опыте угол φ настолько мал, что мы можем положить cos φ. Предположим, что уравнение движения при разомкнутом контуре

𝐴

𝑑²φ

𝑑𝑡²

+

𝐴

𝑑φ

𝑑𝑡

+

𝐶φ

=

0,

(8)

где 𝐴 - момент инерции подвешенной аппаратуры; 𝐵(𝑑φ/𝑑𝑡) выражает сопротивление, возникающее из-за вязкости воздуха, нити подвеса и т. п., а 𝐶φ выражает момент силы, возникающий из-за действия земного магнетизма, кручения устройства подвеса и т. п., который стремится возвратить магнит в положение равновесия.

Уравнение движения при учёте действия тока будет

𝐴

𝑑²φ

𝑑𝑡²

+

𝐴

𝑑φ

𝑑𝑡

+

𝐶φ

=

𝐺𝑚γ,

(9)

Чтобы найти движение магнита, мы должны это уравнение скомбинировать с (7) и исключить γ. В результате получим линейное дифференциальное уравнение третьего порядка

⎛

⎜

⎝

𝐿

𝑑

𝑑𝑡

+

𝑅

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑²

𝑑𝑡²

+

𝐵

𝑑

𝑑𝑡

+

𝐶

⎞

⎟

⎠

φ

+

𝐺²𝑚²

𝑑φ

𝑑𝑡

=

0.

(10)

Нам, однако, не придётся решать это уравнение, поскольку параметрами задачи являются наблюдаемые элементы движения магнита и именно из них мы должны определить величину 𝑅.

Пусть значения α и ω в уравнении (3) равны α₀ и ω₀, когда контур разомкнут. В этом случае сопротивление 𝑅 бесконечно, и уравнение (10) сводится к (8). Таким образом, мы находим

𝐵

=

2𝐴α₀

,

𝐶

=

𝐴

(α₀²+ω₀²)

.

(11)

Разрешая уравнение (10) относительно 𝑅 и записывая

𝑑

𝑑𝑡

=-

(α-𝑖ω)

,

𝑖

=

√

-1

,

(12)

мы находим

𝑅

=

𝐺²𝑚²

𝐴

α-𝑖ω

α²-ω²+2𝑖αω-2α₀(α-𝑖ω)+α₀²+ω₀²

+

+

𝐿(α-𝑖ω)

.

(13)

Так как величина ω обычно много больше величины α, то наилучшее значение для 𝑅 можно получить, приравняв нулю члены, стоящие перед 𝑖ω:

𝑅

=

𝐺²𝑚²

2𝐴(α-α₀)

+

½𝐿

⎛

⎜

⎝

3α

-

α₀

-

ω²-ω₀²

α-α₀

⎞

⎟

⎠

.

(14)

Мы можем также получить значение 𝑅 путём приравнивания нулю членов, не содержащих 𝑖. но поскольку эти члены малы, то такое уравнение полезно только как средство проверки точности наблюдений. Из этих уравнений мы находим следующее проверочное уравнение:

𝐺²𝑚²

{α²+ω²-α₀²-ω₀²}

=

=

𝐿𝐴{

(α-α₀)⁴

+

2(α-α₀)²(ω²+ω₀²)

+

(ω²+ω₀²)²

}.

(15)

Поскольку член 𝐿𝐴ω² очень мал по сравнению с 𝐺²𝑚², это уравнение даёт

ω²-ω₀²

=

α₀²-α²

(16)

и уравнение (14) можно записать так:

𝑅

=

𝐺²𝑚²

2𝐴(α-α₀)

+

2𝐿α

.

(17)

В этом выражении 𝐺 можно определить либо в результате измерения линейных размеров катушки гальванометра, либо лучше, путём сравнения с эталонной катушкой в соответствии с методом п. 753. А является моментом инерции магнита и подвешенной вместе с ним аппаратуры; его следует находить соответствующим динамическим методом; величины ω, ω₀, α и α₀ устанавливаются из наблюдений.

Определение величины 𝑚 - магнитного момента подвешенного магнита - является наиболее трудной частью исследования, так как он подвержен влиянию температуры, земной магнитной силы, механических воздействий; поэтому необходимо проявлять особую внимательность, чтобы при измерении этой величины магнит находился точно в таких же условиях, в которых он находится во время колебаний.

Второй член в выражении для 𝑅 - член, содержащий 𝐿, - менее важен, поскольку обычно он мал по сравнению с первым членом. Величину 𝐿 можно определить либо расчётным путём для катушки, форма которой известна, либо из эксперимента с избыточным током индукции, см. п. 756.

Томсоновский метод вращающейся катушки

763. Этот метод был предложен Томсоном Комитету Британской Ассоциации Электрических Стандартов; эксперимент был выполнен Бэлфором Стьюартом (Balfour Stewart), Флемингом Дженкином (Fleeming Jenkin) и автором в 1863 г.³

³ См. Report of the British Association for 1863, p. 111-176.

Круглая катушка приводится во вращение с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси. В центре катушки на шёлковой нити подвешивается небольшой магнит. Электрический ток в катушке индуцируется земным магнетизмом, а также подвешенным магнитом. Ток этот является периодическим; в различные интервалы времени каждого оборота он протекает через провод катушки в противоположных направлениях, но действие тока на подвешенный магнит создаёт постоянное отклонение от магнитного меридиана в направлении вращения катушки.

764. Пусть 𝐻 - горизонтальная составляющая земного магнетизма.

Пусть γ - сила тока в катушке,

𝑔 - общая площадь, охватываемая всеми витками провода;

𝐺 - магнитная сила в центре катушки, создаваемая единичным током;