Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

𝐿 - коэффициент самоиндукции катушки;

𝑀 - магнитный момент подвешенного магнита;

θ - угол между плоскостью катушки и магнитным меридианом;

φ - угол между осью подвешенного магнита и магнитным меридианом;

𝐴 - момент инерции подвешенного магнита;

𝑀𝐻τ - коэффициент кручения нити подвеса;

α - азимут магнита в отсутствии кручения;

𝑅 - сопротивление катушки.

Кинетическая энергия системы равна

𝑇

=

½𝐿γ²

-

𝐻𝑔γ

sin θ

-

𝐻𝐺γ

sin (θ-φ)

+

𝑀𝐻

cos φ

+

+

½𝐴φ̇²

.

(1)

Первый член, равный ½𝐿γ², выражает энергию тока, зависящую только от самой катушки. Второй член определяется взаимодействием тока и земного магнетизма, третий - взаимодействием тока и магнетизма подвешенного магнита, четвёртый - взаимодействием магнетизма подвешенного магнита и земного магнетизма, последний член выражает кинетическую энергию вещества, образующего магнит и движущуюся вместе с ним подвешенную аппаратуру.

Потенциальная энергия подвешенной аппаратуры, возникающая из-за кручения нити, равна

𝑉

=

𝑀𝐻

2

τ(φ²-2φα)

.

(2)

Электромагнитный импульс тока равен

𝑝

=

𝑑𝑇

𝑑γ

=

𝐿γ

-

𝐻𝑔

sin θ

-

𝑀𝐺

sin(θ-φ)

,

(3)

и если 𝑅 - сопротивление катушки, то уравнение для тока имеет вид

𝑅γ

+

𝑑²𝑇

𝑑𝑡 𝑑γ

=

0,

(4)

или, поскольку

θ

=

ω𝑡

,

(5)

⎛

⎜

⎝

𝑅

+

𝐿

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

γ

=

𝐻𝑔ω

cos θ

+

𝑀𝐺(ω-φ̇)

cos(ω-φ)

.

(6)

765. И из теории, и из наблюдений одинаково следует, что азимут магнита φ подвержен двум видам периодических изменений. Одно из них - свободные колебания, период которых зависит от интенсивности земного магнетизма и равен, согласно эксперименту, нескольким секундам. Другое - вынужденные колебания с периодом, равным половине периода вращения катушки и, как мы увидим далее, с необнаружимо малой амплитудой. Следовательно, при определении γ мы можем считать угол φ практически постоянным.

Таким образом, мы находим

γ

=

𝐻𝑔ω

𝑅²+𝐿²ω²

(𝑅

cos θ

+

𝐿ω

sin θ

)+

(7)

+

𝐻𝑔ω

𝑅²+𝐿²ω²

{𝑅

cos (θ-φ)

+

𝐿ω

sin (θ-φ)

}+

(8)

-

𝑅

𝐿

𝑡

+𝐶𝑒

.

(9)

Когда вращение происходит с постоянной скоростью, последний член в этом выражении довольно быстро исчезает.

Движение подвешенного магнита определяется уравнением

𝑑²𝑇

𝑑𝑡 𝑑φ̇

-

𝑑𝑇

𝑑φ

+

𝑑𝑉

𝑑φ

=

0,

(10)

откуда

𝐴φ̈

-

𝑀𝐺γ

cos(θ-φ)

+

𝑀𝐻(

sin φ

+

τ(φ-α)

)=

0.

(11)

Подставим значение γ и расположим члены в соответствии с кратностью аргумента θ, кроме того, из наблюдений мы знаем, что

φ

=

φ₀

+

𝑏𝑒

^-𝑙𝑡

cos 𝑛𝑡

+

𝑐

cos 2(θ-β)

,

(12)

где φ₀ - среднее значение φ, второй член выражает постепенно затухающие свободные колебания, а третий - вынужденные колебания, возникающие из-за изменения отклоняющего тока.

Начиная с тех членов в (11), которые не содержат θ и должны в совокупности быть равными нулю, мы приближённо находим

𝑀𝐺ω

𝑅²+𝐿²ω²

{

𝐻𝑔(𝑅

cos φ₀

+

𝐿ω

sin φ₀

)+

𝐺𝑀𝑅

}=

=

2𝑀𝐻(

sin φ₀

+

τ(φ₀-α)

).

(13)

Поскольку член 𝐿 tg φ₀ обычно мал по сравнению с 𝐺𝑔, решение квадратного уравнения (13) приближённо даёт

𝑅

=

𝐺𝑔ω

⎧

⎨

⎩

1+

𝐺𝑀

𝑔𝐻

sec φ₀

-

2 tg φ₀

⎛

⎜

⎝

1+τ

φ₀-α

⎞

⎟

⎠

sin φ₀

-

2𝐿

𝐺𝑔

⎛

⎜

⎝

2𝐿

𝐺𝑔

-1

⎞

⎟

⎠

tg²φ₀

-

⎛

⎜

⎝

2𝐿

𝐺𝑔

⎞²

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

2𝐿

𝐺𝑔

-1

⎞²

⎟

⎠

tg⁴φ₀

⎫

⎬

⎭

.

(14)

Если мы учтём основной член этого выражения в уравнениях (7), (8) и (11), то найдём, что значение 𝑛 в уравнении (12) равно

⎛

⎜

⎝

𝐻𝑀

𝐴

sec φ₀

⎞½

⎟

⎠

.

Величина амплитуды вынужденных колебаний равна

1

4

𝑛²

ω²

φ₀

.

Следовательно, когда катушка совершает много оборотов за время одного свободного колебания магнита, амплитуда вынужденных колебаний магнита очень мала, и мы можем пренебречь в (11) членами, содержащими 𝑐.

766. Таким образом, сопротивление определено в электромагнитных единицах через скорость ω и отклонение φ. Величину горизонтальной составляющей земного магнетизма 𝐻 нет необходимости определять при условии, что она остаётся постоянной во время опыта.

Чтобы найти 𝑀/𝐻, мы должны использовать подвешенный магнит для отклонения магнита магнитометра, как описано в п. 454. В этом эксперименте значение 𝑀 должно быть малым, тогда эта поправка имеет второстепенное значение.

Относительно других поправок, учёт которых необходим в этом эксперименте, см. Report of the British. Association за 1863 г., стр. 168.

Калориметрический метод Джоуля

767. Тепло, выделяемое при прохождении тока γ через проводник с сопротивлением 𝑅, согласно закону Джоуля (п. 242), равно

ℎ

=

1

𝐽

∫

𝑅γ²

𝑑𝑡

,

(1)

где 𝐽 - эквивалент использованной единицы тепла в динамическом измерении.

Следовательно, если за время опыта сопротивление 𝑅 постоянно, то его значение равно

𝑅

=

𝐽ℎ

∫γ²𝑑𝑡

.

(2)

Этот метод определения 𝑅 включает в себя нахождение количества тепла ℎ, производимого током в течение заданного промежутка времени, а также квадрата силы тока γ².

В опытах Джоуля ⁴ величина ℎ определялась по увеличению температуры воды в сосуде, куда был помещён проводящий провод. Поправки на излучение и т. п. находились путём проведения дополнительных опытов, при которых ток по проводу не пропускался.

⁴Report on Standarts of Electrical Resistance of the British Associations for 1867, p. 474-522.