Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Наблюдения за подвешенным магнитом производятся как до поднесения к нему магнита 𝑀, так и после установления магнита 𝑀 на его место. Если θ - наблюдаемое отклонение, то по приближённой формуле (1)

𝑀

𝐻

=

𝑟³

2

tg θ

,

(5)

если же использовать формулы (3), то

1

2

𝑀

𝐻

𝑟³

tg θ

=

1+

𝐴

₁

1

𝑟

+

𝐴

₂

1

𝑟²

+…

.

(6)

Здесь мы должны помнить, что отклонение θ можно измерять с большой точностью, а расстояние между центрами магнитов, пока мы не зафиксировали оба магнита и не пометили их центры, измерить точно нельзя. Эта трудность преодолевается так.

Магнит 𝑀 размещается на шкале с делениями, которая продолжается к востоку и к западу - по обе стороны от подвешенного магнита. Центром магнита 𝑀 считается средняя точка между его концами. Можно отметить эту точку на магните и засекать её положение, а можно измерять положение концов и брать их среднее арифметическое. Обозначим положение центра магнита 𝑀 через 𝑠₁, а положение точки, в которой линия нити подвеса с подвешенным на ней магнитом пересекает шкалу,- через 𝑠₀; тогда 𝑟₁=𝑠₁-𝑠₀ где 𝑠₁ известно точно, а 𝑠₀ - приближенно. Пусть θ₁ - отклонение, наблюдаемое при этом положении магнита 𝑀.

Теперь перевернём 𝑀 т.е. поместим его на шкале, поменяв местами его концы; тогда 𝑟₁ останется тем же самым, а 𝑀, 𝐴₁, 𝐴₃, … сменят знаки, так что для отклонения θ₂ будем иметь

-

1

2

𝑀

𝐻

𝑟

₁

³

tg θ

₂

=

1-

𝐴

₁

1

𝑟₁

+

𝐴

₂

1

𝑟₁²

-…

.

(7)

Взяв среднее арифметическое от (6) и (7), получим

1

4

𝑀

𝐻

𝑟

₁

³

(

tg θ

₁

-

tg θ

₂

)

=

1+

𝐴

₂

1

𝑟₁²

+

𝐴

₄

1

𝑟₁⁴

+…

.

(8)

Теперь поместим 𝑀 к западу от подвешенного магнита, установив его центр в точке, соответствующей отметке на шкале 2𝑠₀-𝑠₁. Для отклонений оси в двух новых положениях θ₃ и θ₄ получим, как и прежде:

1

4

𝑀

𝐻

𝑟

₂

³

(

tg θ

₃

-

tg θ

₄

)

=

1+

𝐴

₂

1

𝑟₂²

+

𝐴

₄

1

𝑟₂⁴

+…

.

(9)

Допустим, что истинное положение центра подвешенного магнита не 𝑠₀, а 𝑠₀+σ; тогда

𝑟

₁

=

𝑟-σ

,

𝑟

₂

=

𝑟+σ

(10)

и

1

2

⎛

⎝

𝑟

₁

^𝑛

+

𝑟

₂

^𝑛

⎞

⎠

=

𝑟

^𝑛

⎧

⎨

⎩

1+

𝑛(𝑛-1)

2

σ²

𝑟²

+…

⎫

⎬

⎭

.

(11)

Если измерения проведены достаточно аккуратно, то величиной σ²/𝑟² можно пренебречь и вместо 𝑟₁^𝑛 и 𝑟₂^𝑛 с уверенностью подставить 𝑟^𝑛.

Тогда, взяв среднее арифметическое от (8) и (9), получим

1

8

𝑀

𝐻

𝑟³

(

tg θ

₁

-

tg θ

₂

+

tg θ

₃

-

tg θ

₄

)

=

1+

𝐴

₂

1

𝑟²

+…

(12)

или, введя обозначение

¼

(

tg θ

₁

-

tg θ

₂

+

tg θ

₃

-

tg θ

₄

)

=

𝐷

,

(13)

найдём

1

8

𝑀

𝐻

𝐷

𝑟³

=

1+

𝐴

₂

1

𝑟²

+…

.

454. Теперь мы можем рассматривать 𝐷 и 𝑟 как величины, допускающие точное определение.

Значение 𝐴₂ никогда не превосходит 2𝐿² (𝐿 - половина длины магнита); поэтому на расстояниях 𝑟, значительных по сравнению с 𝐿, мы можем пренебречь членом с 𝐴₂ и сразу же определить отношение 𝐻 к 𝑀. Нельзя, однако, считать, что величина 𝐴₂ равна 2𝐿², она может быть меньше и даже отрицательна, если максимальный размер магнита поперечен по отношению к оси. Членами с 𝐴₄ и более высокого порядка можно пренебречь без опасений.

Чтобы исключить 𝐴₂, повторим эксперимент с различными расстояниями 𝑟₁, 𝑟₂, 𝑟₃, …, получив для 𝐷 значения 𝐷₁, 𝐷₂, 𝐷₃, …; тогда

𝐷

₁

=

2𝑀

𝐻

⎛

⎜

⎝

1

𝑟₁³

+

𝐴₂

𝑟₁⁵

⎞

⎟

⎠

,

𝐷

₂

=

2𝑀

𝐻

⎛

⎜

⎝

1

𝑟₂³

+

𝐴₂

𝑟₂⁵

⎞

⎟

⎠

, …, … .

Если предположить, что вероятные ошибки этих уравнений одинаковы, а это будет так, когда они зависят только от определения 𝐷 и когда не существует неопределённости в величине 𝑟, то в соответствии с общим правилом комбинирования в теории ошибок измерений (в предположении равенства вероятных ошибок всех уравнений) одно из комбинированных уравнений получится при умножении каждого из приведённых выше уравнений на 𝑟^-3 и сложения результатов, а второе - при умножении на 𝑟^-5 и также с последующим сложением результатов.

Обозначив через ∑(𝐷𝑟^-3) величину

𝐷

₁

𝑟

₁

^-3

+

𝐷

₂

𝑟

₂

^-3

+

𝐷

₃

𝑟

₃

^-3

+…

и используя аналогичные обозначения для других групп символов, оба результирующие уравнения можно записать в виде

∑

(𝐷𝑟

^-3

)

=

2𝑀

𝐻

⎧

⎨

⎩

∑

(𝑟

^-6

)

+

𝐴

₂

∑

(𝑟

^-8

)

⎫

⎬

⎭

,

∑

(𝐷𝑟

^-5

)

=

2𝑀

𝐻

⎧

⎨

⎩

∑

(𝑟

^-8

)

+

𝐴

₂

∑

(𝑟

^-10

)

⎫

⎬

⎭

,

откуда

2𝑀

𝐻

⎧

⎨

⎩

∑

(𝑟

^-6

)

∑

(𝑟

^-10

)

-

⎡

⎣

∑

(𝑟

^-8

)

⎤²

⎦

⎫

⎬

⎭

=

=

∑

(𝐷𝑟

^-3

)

∑

(𝐷𝑟

^-10

)

-

∑

(𝐷𝑟

^-5

)

∑

(𝐷𝑟

^-8

)

и

𝐴

₂

⎧

⎨

⎩

∑

(𝐷𝑟

^-3

)

∑

(𝐷𝑟

^-10

)

-

∑

(𝐷𝑟

^-5

)

∑

(𝐷𝑟

^-8

)

⎫

⎬

⎭

=

=

∑

(𝐷𝑟

^-5

)

∑

(𝐷𝑟

^-6

)

-

∑

(𝐷𝑟

^-3

)

∑

(𝐷𝑟

^-8

)

.

Величина 𝐴₂, найденная из этих уравнений, должна быть меньше половины квадрата длины магнита 𝑀. В противном случае следует подозревать наличие какой-то ошибки в измерениях. Этот метод измерения и редукции был дан Гауссом в «Первом Докладе Магнитного Союза».

Если наблюдатель может сделать лишь две серии экспериментов для расстояний 𝑟₁ и 𝑟₂, то вычисленные по ним величины 2𝑀/𝐻 и 𝐴₂ будут равны

𝑄

=

2𝑀

𝐻

=

𝐷₁𝑟₁⁵-𝐷₂𝑟₂⁵

𝑟₁²-𝑟₂²

,

𝐴

₂

=

𝐷₂𝑟₂³-𝐷₁𝑟₁³

𝐷₁𝑟₁⁵-𝐷₂𝑟₂⁵

𝑟

₁

²

𝑟

₂

²

.

Ошибка в определении величины 𝑄 равна

δ𝑄

=

𝑟₁⁵δ𝐷₁-𝑟₂⁵δ𝐷₂

𝑟₁²-𝑟₂²

где δ𝐷₁ и δ𝐷₂ - действительные ошибки измеренных отклонений 𝐷₁ и 𝐷₂.

Предполагая ошибки δ𝐷₁ и δ𝐷₂ независимыми, а вероятное значение каждой из них равным δ𝐷, для вероятной ошибки δ𝑄 вычисленного значения 𝑄 получим

(δ𝑄)²

=

𝑟₁¹⁰+𝑟₂¹⁰

(𝑟₁²-𝑟₂²)²

(δ𝐷)²

.