Трактат об электричестве и магнетизме

Если мы предположим, что сопротивление батареи 𝑟 пренебрежимо мало в сравнении с 𝐴, это даст α=𝐴/3, или сопротивление каждой катушки гальванометра должно быть равно одной трети от величины измеряемого сопротивления.

Мы тогда находим

𝐵-𝐴

=

8

9

𝐴²

𝑛𝐸

(δ-δ')

.

Если мы пустим ток только через одну из катушек гальванометра и если при этом отклонение будет равно Δ (предполагаем, что отклонение строго пропорционально отклоняющей силе), то

Δ

=

𝑛𝐸

𝐴+α+𝑟

=

3

4

𝑛𝐸

𝐴

, если 𝑟

=

0 и α

=

1

3

𝐴

.

Отсюда

𝐵-𝐴

𝐴

=

2

3

δ-δ'

Δ

.

В дифференциальном гальванометре два тока должны производить равное и противоположное воздействие на подвешенную стрелку. Сила, с которой каждый из токов действует на стрелку, зависит не только от величины этого тока, но и от положения витков провода относительно стрелки. Поэтому, если катушка намотана недостаточно тщательно, отношение 𝑚 к 𝑛 может меняться при изменении положения стрелки, и, следовательно, если возникают подозрения о любом изменении положения стрелки, необходимо соответствующими методами определять это отношение 𝑚 к 𝑛 каждый раз в течение хода измерений.

В другом методе, в котором используется мостик Уитстона, требуется только обычный гальванометр, и наблюдаемое нулевое отклонение стрелки вызвано не противодействием двух токов, а отсутствием тока в проводе. Поэтому мы наблюдаем не только нулевое отклонение, но и нулевой ток, и не может возникнуть ошибок от недостаточной регулярности или от изменений любого вида в катушках гальванометра. От гальванометра только требуется, чтобы он был достаточно чувствителен, для того чтобы определять существование и направление тока, и не нужно каким-либо способом определять величину тока или сравнивать величину этого и другого тока.

347. Мостик Уитстона состоит, по существу, из шести проводников, соединяющих четыре точки. К двум из этих точек прикладывается электродвижущая сила 𝐸 с помощью вольтовой батареи, введённой между 𝐵 и 𝐶. Ток между двумя другими точками 𝑂 и 𝐴 измеряется гальванометром [рис. 32].

Рис. 32

При определённых условиях этот ток обращается в нуль. Тогда говорят, что проводники 𝐵𝐶 и 𝑂𝐴 сопряжены один другому, что накладывает определённую связь на сопротивления других четырёх проводников, и эта связь используется при измерении сопротивлений.

Если ток через 𝑂𝐴 равен нулю, потенциал в точке 𝑂 должен быть равен потенциалу в точке 𝐴. Но если мы знаем потенциалы в 𝐵 и 𝐶, мы можем определить потенциалы в 𝑂 и 𝐴 с помощью правил, данных в п. 275, с учётом того, что ток в 𝑂𝐴 отсутствует:

𝑂

=

𝐵γ+𝐶β

β+γ

,

𝐴

=

𝐵𝑏+𝐶𝑐

𝑏+𝑐

,

откуда получаем условие 𝑏β=𝑐γ, где 𝑏, 𝑐, β, γ обозначают соответственно сопротивления участков 𝐶𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝑂 и 𝑂𝐶.

Чтобы определить степень точности, достижимую в этом методе, мы должны определить силу тока в 𝑂𝐴 если это условие не выполнено точно.

Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, и 𝑂 - четыре точки. Пусть токи, текущие вдоль 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, и 𝐴𝐵, равны соответственно 𝑥, 𝑦 и 𝑧, а сопротивления этих проводников - 𝑎, 𝑏 и 𝑐. Пусть токи, текущие вдоль 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 и 𝑂𝐶 равны ξ, η, ζ, а соответствующие сопротивления равны α, β и γ. Пусть электродвижущая сила 𝐸 действует вдоль 𝐵𝐶 Требуется определить ток ξ через 𝑂𝐴.

Обозначим потенциалы в точках 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝑂 буквами 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝑂. Уравнения, определяющие прохождение тока, будут

𝑎𝑥

=

𝐵-𝐶+𝐸,

αξ

=

𝑂-𝐴,

𝑏𝑦

=

𝐶-𝐴,

βη

=

𝑂-𝐵,

𝑐𝑧

=

𝐴-𝐵,

γζ

=

𝑂-𝐶,

а уравнения непрерывности:

ξ+𝑦+𝑧

=

0,

η+𝑧-𝑥

=

0,

ζ+𝑥-𝑦

=

0.

Рассматривая систему как образованную тремя цепями 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 в которых токи соответственно равны 𝑥, 𝑦, и 𝑧, и применяя к каждой замкнутой цепи правило Кирхгофа, мы исключаем значения потенциалов 𝑂, 𝐴, 𝐵, 𝐶 и токов ξ, η, ζ и получаем следующие уравнения для 𝑥, 𝑦, и 𝑧:

(𝑎+β+γ)

𝑥

-γ

𝑦

-β

𝑧

=

𝐸,

-γ

𝑥

+(𝑏+γ+α)

𝑦

-α

𝑧

=

0,

-β

𝑥

-α

𝑦

+(𝑐+α+β)

𝑧

=

0.

Отсюда, если мы положим

𝐷

=

⎪

⎪

⎪

⎪

𝑎+β+γ,

-γ,

-β,

⎪

⎪

⎪

⎪

,

-γ,

𝑏+γ+α,

-α,

-β,

-α,

𝑐+γ+α

найдём

ξ

=

𝐸

𝐷

(𝑏β-𝑐γ)

и

𝑥

=

𝐸

𝐷

{

(𝑏+γ)

(𝑐+β)

+

α(𝑏+𝑐+β+γ)

}.

348. Значение 𝐷 можно выразить в симметричной форме

𝐷

+

𝑎𝑏𝑐

+

𝑏𝑐(β+γ)

+

𝑐𝑎(γ+α)

+

𝑎𝑏(α+β)

+

+

(𝑎+𝑏+𝑐)

(βγ+γα+αβ)

,

или, так как мы предполагаем, что батарея составляет часть проводника 𝑎, а гальванометр - часть проводника α, можем вместо а писать сопротивление батареи 𝐵, а вместо 𝑎 - сопротивление гальванометра 𝐺. Мы тогда находим

𝐷

=

𝐵𝐺

(𝑏+𝑐+β+γ)

+

𝐵(𝑏+γ)(𝑐+β)

+

+

𝐺(𝑏+𝑐)(β+γ)

+

𝑏𝑐(β+γ)

+

+βγ(𝑏+𝑐)

.

Если бы электродвижущая сила 𝐸 действовала вдоль отрезка 𝑂𝐴, причём сопротивление отрезка 𝑂𝐴 было бы по-прежнему равно α, и если бы гальванометр был включён в 𝐵𝐶, причём сопротивление 𝐵𝐶 было бы по-прежнему равно 𝑎, то величина 𝐷 не изменилась бы и ток в 𝐵𝐶, вызванный электродвижущей силой 𝐸, действующей вдоль 𝑂𝐴, был бы равен току в 𝑂𝐴, вызванному электродвижущей силой 𝐸, действующей в 𝐵𝐶.

Но если мы просто отъединим батарею и гальванометр и, не меняя их соответствующих сопротивлений, присоединим батарею к точкам 𝑂 и 𝐴, а гальванометр - к точкам 𝐵 и 𝐶, то в выражении для 𝐷 мы должны поменять местами 𝐵 и 𝐺. Если обозначить через 𝐷' выражение, в которое переходит 𝐷 после такой перестановки, мы находим

𝐷-𝐷'

=

(𝐺-𝐵)

{

(𝑏+𝑐)

(β+γ)

-

(𝑏+γ)

(β+𝑐)

}=

=

(𝐵-𝐺)

{

(𝑏-β)

(𝑐-γ)

}.