Трактат об электричестве и магнетизме

Предположим, что сопротивление гальванометра больше, чем сопротивление батареи.

Предположим также, что в своём первоначальном положении гальванометр соединяет контакт двух проводников, β и γ, обладающих наименьшими сопротивлениями, с контактом двух проводников 𝑏, 𝑐, обладающих наибольшими сопротивлениями. Другими словами, мы будем предполагать, что если величины 𝑏, 𝑐, γ, β расположены в порядке возрастания, то 𝑏 и 𝑐 стоят рядом и γ и β стоят рядом. Поэтому величины 𝑏-β и 𝑐-γ имеют один и тот же знак, вследствие чего их произведение положительно, и потому 𝐷-𝐷' имеет тот же самый знак, что 𝐵-𝐺.

Следовательно, если сделать так, чтобы гальванометр соединял контакт между двумя наибольшими сопротивлениями с контактом между двумя наименьшими сопротивлениями, и если у гальванометра сопротивление больше, чем у батареи, то величина 𝐷 будет меньше, а величина отклонения гальванометра - больше по сравнению с тем случаем, когда соединения переставлены местами.

Отсюда вытекает следующее правило для получения наибольших отклонений гальванометра в данной системе: из двух сопротивлений, батареи и гальванометра, большее нужно подключить так, чтобы оно соединяло два наибольших и два наименьших из остальных четырёх сопротивлений.

349. Предположим, что нам нужно определить отношение сопротивлений двух проводников 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 и что это нужно сделать, отыскав такую точку 𝑂 проводника 𝐵𝑂𝐶, что если точки 𝑂 и 𝐴 соединить проводом с введённым в него гальванометром, а между 𝐵 и 𝐶 включить батарею, то заметного отклонения стрелки гальванометра не произойдёт.

Можно предположить, что проводник 𝐵𝑂𝐶 представляет собой провод с однородным сопротивлением, разделённый на равные части, и поэтому отношение сопротивлений 𝐵𝑂 и 𝑂𝐶 можно отсчитывать сразу.

Можно не делать весь проводник однородным, а сделать из однородного провода только часть проводника, прилегающую к точке 𝑂, а те части, которые находятся по обе стороны, могут быть катушками любой формы, сопротивление которых точно известно.

Теперь мы будем использовать обозначения, отличающиеся от симметричных обозначений, с которых мы начали.

Пусть сопротивление 𝐵𝐴𝐶 равно 𝑅, 𝑐=𝑚𝑅 и 𝑏=(1-𝑚)𝑅, полное сопротивление 𝐵𝑂𝐶 равно 𝑆, β=𝑛𝑆 и γ=(1-𝑛)𝑆.

Величина 𝑛 отсчитывается непосредственно, а величина 𝑚 определяется по 𝑛 в положении, когда нет заметного отклонения гальванометра.

Обозначим сопротивление батареи и её соединений через 𝐵, а сопротивление гальванометра и его соединений - через 𝐺.

Находим, как раньше,

𝐷

=

𝐺

{

𝐵𝑅

+

𝐵𝑆

+

𝑅𝑆

}

+

𝑚(1-𝑚)𝑅²(𝐵+𝑆)

+

+

𝑛(1-𝑛)𝑆(𝐵+𝑅)

+

(𝑚+𝑛-2𝑚𝑛)𝐵𝑅𝑆

,

и если ξ - ток в проводе гальванометра, то

ξ

=

𝐸𝑅𝑆

𝐷

(𝑚-𝑛)

.

Чтобы получить наиболее точные результаты, мы должны сделать отклонение стрелки настолько большим, насколько это возможно в сравнении с (𝑚-𝑛) Этого можно добиться, подбирая надлежащим образом размеры гальванометра и провод стандартного сопротивления.

Когда мы дойдём до Гальванометрии, п. 716, будет показано, что если у проволоки в гальванометре менять форму, оставляя неизменной массу, то отклонение стрелки на единицу тока пропорционально длине, но сопротивление возрастает как квадрат длины. Отсюда следует, что максимальное отклонение имеет место в том случае, когда сопротивление проволоки в гальванометре равно постоянному сопротивлению остальной цепи.

Для настоящего случая, если отклонение обозначить через δ, имеем δ=𝐶√𝐺ξ, где 𝐶 - некоторая постоянная, a 𝐺 - сопротивление гальванометра, которое меняется как квадрат длины проволоки. Отсюда мы находим, что, когда величина δ достигает максимума, та часть выражения для 𝐷, которая содержит 𝐺, должна быть равна остальной части выражения.

Если мы также положим 𝑚=𝑛 как это имеет место в случае, если мы произвели правильное измерение, мы находим, что наилучшее значение 𝐺 равно 𝐺=𝑛(1-𝑛)(𝑅+𝑆).

Этот результат легко получить, рассматривая сопротивление системы между точками 𝐴 и 𝑂 с учётом того, что отрезок 𝐵𝑀 сопряжён отрезку 𝐴𝑂 и не влияет на это сопротивление.

Таким же путём мы могли бы найти, что если задана полная площадь активных поверхностей батареи, то, поскольку в этом случае величина 𝐸 пропорциональна √𝐵, наиболее выгодное устройство батареи достигается при условии

𝐵

=

𝑅𝑆

𝑅+𝑆

.

Наконец, мы определим такое значение 𝑆, при котором данное изменение величины 𝑛 вызывает наибольшее отклонение гальванометра. Дифференцируя по 𝑆 выражения для ξ мы находим, что оно максимально при

𝑆²

=

𝐵𝑅

𝐵+𝑅

⎛

⎜

⎝

𝑅

+

𝐺

𝑛(1-𝑛)

⎞

⎟

⎠

.

Если нам нужно проделать очень много измерений сопротивления, в которых величина имеющихся сопротивлений примерно одна и та же, имеет смысл специально подготовить для этой цели батарею и гальванометр. В этом случае мы находим, что наилучшее устройство достигается при 𝑆=𝑅, 𝐵=½𝑅, 𝐺=2𝑛(1-𝑛)𝑅, и если 𝑛=½, то 𝐺=½𝑅.

Об использовании Мостика Уитстона

350. Мы уже объяснили общую теорию Мостика Уитстона, теперь рассмотрим некоторые из его применений.

С наибольшей точностью может быть проведено сравнение двух равных сопротивлений.