Трактат об электричестве и магнетизме

По мере расширения отрицательной области и заполнения ею всего пространства она теряет все степени цикличности, которые она приобрела ранее, и становится в конце концов ациклической. Таким образом, имеется также совокупность точек или линий равновесия, в которых теряется цикличность, причём число степеней равно числу степеней для точек или линий, в которых она увеличивается.

При произвольной форме заряженных тел или проводников мы можем лишь утверждать, что число этих дополнительных точек или линий чётно, но для точечных зарядов и сферических проводников их число не может превышать (𝑛-1)(𝑛-2), где 𝑛 - количество тел.

114. Потенциал вблизи любой точки 𝑃 может быть разложен в ряд 𝑉=𝑉₀+𝐻₁+𝐻₂+…, где 𝐻₁+𝐻₂+… - однородные функции от 𝑥, 𝑦, 𝑧, соответственно степени 1, 2 и т. д.

Поскольку в точке равновесия первые производные от 𝑉 обращаются в нуль, то 𝐻₁=0, если 𝑃 - точка равновесия.

Пусть 𝐻_𝑛 - первая отличная от нуля функция, тогда вблизи точки 𝑃 можно пренебречь всеми функциями более высокой степени, чем 𝐻_𝑛.

Но 𝐻₁=0 является уравнением конуса степени 𝑛 и этот конус является соприкасающимся конусом к эквипотенциальной поверхности в точке 𝑃.

Таким образом, получается, что проходящая через точку 𝑃 эквипотенциальная поверхность имеет в этой точке коническую точку с соприкасающимся конусом степени два или выше. Пересечение этого конуса со сферой с центром в вершине называется Нодальной линией.

Если точка 𝑃 не находится на линии равновесия, то нодальная линия не имеет самопересечений и состоит из 𝑛 или меньшего числа замкнутых кривых.

Если нодальная линия имеет самопересечение, то точка 𝑃 находится на линии равновесия и эквипотенциальная поверхность, проходящая через 𝑃, имеет самопересечение по этой линии.

Если самопересечения на нодальной линии расположены не в противоположных точках сферы, то точка 𝑃 лежит на пересечении трёх или большего числа линий равновесия, так как эквипотенциальная поверхность, проходящая через 𝑃, должна самопересекаться по каждой линии равновесия.

115. Если пересекаются 𝑛 листов одной и той же эквипотенциальной поверхности, то углы их взаимного пересечения обязательно равны π/𝑛.

Действительно, примем касательную к линии пересечения за ось 𝑧. Тогда 𝑑²𝑉/𝑑𝑧²=0. Пусть далее ось 𝑥 направлена по касательной и одному из листов, тогда 𝑑²𝑉/𝑑𝑥²=0. Отсюда согласно уравнению Лапласа следует, что и 𝑑²𝑉/𝑑𝑦²=0, т.е. что ось 𝑦 касательна к другому листу.

При этом предполагается, что 𝐻₂ конечно. Если же 𝐻₂ равно нулю, то, принимая по-прежнему касательную к линии пересечения за ось 𝑧 и полагая 𝑥=𝑟 cos θ, 𝑦=𝑟 sin θ, получим, что поскольку 𝑑²𝑉/𝑑𝑧²=0, то

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

=

0,

или

𝑑²𝑉

𝑑𝑟²

+

1

𝑟

𝑑𝑉

𝑑𝑟

+

1

𝑟²

𝑑²𝑉

𝑑θ²

=

0.

Решение этого уравнения в виде суммы по возрастающим степеням 𝑟 представляется так:

𝑉

=

𝑉

₀

+

𝐴

₁

𝑟 cos(θ+α

₁

)

+

𝐴

₂

𝑟

²

cos(2θ+α

₂

)

+

+…+

𝐴

_𝑛

𝑟

^𝑛

cos(𝑛θ+α

_𝑛

)

.

В точке равновесия 𝐴₁=0. Если первый отличный от нуля член имеет степень 𝑟^𝑛, то

𝑉-𝑉

₀

=

𝐴

_𝑛

𝑟

^𝑛

cos(𝑛θ+α

_𝑛

)

+

+чл.высш. порядка по

𝑟

.

Это уравнение показывает, что 𝑛 листов эквипотенциальной поверхности пересекают друг друга под углом π/𝑛. Эта теорема была сформулирована Рэнкином ¹.

¹ «Сводка свойств некоторых линий потока», Phil. Mag., Oct., 1864. См. также Thomson and Tait, «Natural Philosophy», § 780; Rankine and Stokes, Proc. R. S., 1867, p. 468, a также W. R. Smith, Proc. R. S. Edin., 1869-70, p. 79.

В свободном пространстве линия равновесия может существовать лишь в особых условиях, но на поверхности проводника она существует обязательно, если на одной части поверхности проводника плотность заряда положительна, а на другой - отрицательна.

Для того чтобы различные части поверхности проводника могли быть заряжены противоположными зарядами, необходимо, чтоб в поле были области, где потенциал выше потенциала тела, и другие области, где потенциал ниже потенциала тела.

Рассмотрим сначала два проводника, заряженных положительно до одинакового потенциала. Где-то между этими двумя телами будет располагаться точка равновесия. Будем постепенно уменьшать потенциал первого тела. Тогда точка равновесия будет постепенно приближаться к нему и в некоторый момент окажется на его поверхности. При дальнейшем изменении потенциала эквипотенциальная поверхность вокруг второго тела, имеющая потенциал, равный потенциалу первого тела, начнёт пересекать под прямым углом поверхность первого тела по некоторой замкнутой кривой, являющейся линией равновесия. Эта линия равновесия, обметя всю поверхность проводника, стягивается затем вновь в точку. После этого точка равновесия удаляется от тела по другую его сторону и уходит в бесконечность, когда заряды обоих тел становятся равными по величине и противоположными по знаку.

Теорема Ирншоу

116. Заряженное тело, помещённое в поле электрической силы, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия.

Сначала предположим, что электричество на подвижном теле 𝐴 а также в системе окружающих тел 𝐵 фиксировано относительно этих тел.