Трактат об электричестве и магнетизме

Пусть 𝑉 - потенциал в произвольной точке подвижного тела, обусловленный действием окружающих тел 𝐵, а 𝑒 - заряд в некотором малом участке тела 𝐴, примыкающем к этой точке. Тогда потенциальная энергия тела 𝐴 по отношению к системе 𝐵 равна 𝑀=∑(𝑉𝑒) где суммирование производится по всем заряженным участкам тела 𝐴.

Пусть 𝑎, 𝑏, 𝑐 - координаты произвольного заряженного участка тела 𝐴 относительно осей, фиксированных в теле 𝐴 и параллельных осям 𝑥, 𝑦, 𝑧, Пусть абсолютные координаты начала отсчёта этих осей равны ξ, η, ζ.

Предположим пока, что тело 𝐴 может совершать лишь поступательное движение. Тогда абсолютные координаты точки 𝑎, 𝑏, 𝑐 равны 𝑥=ξ+𝑎, 𝑦=η+𝑏, 𝑧=ζ+𝑐.

Потенциал тела 𝐴 по отношению к системе 𝐵 может быть выражен как сумма членов, в каждом из которых 𝑉 выражено через 𝑎, 𝑏, 𝑐 и ξ, η, ζ. Сумма этих членов является функцией от 𝑎, 𝑏, 𝑐 постоянных для любой точки тела, и от ξ, η, ζ, изменяющихся при перемещении тела.

Поскольку каждый член суммы удовлетворяет уравнению Лапласа, то и вся сумма удовлетворяет этому уравнению:

𝑑²𝑀

𝑑ξ²

+

𝑑²𝑀

𝑑η²

+

𝑑²𝑀

𝑑ζ²

=

0.

Дадим телу 𝐴 малое перемещение, так что 𝑑ξ=𝑙𝑑𝑟, 𝑑η=𝑚𝑐𝑟, 𝑑ζ=𝑛𝑑𝑟, и пусть 𝑑𝑀 - приращение потенциала тела 𝐴 по отношению к окружающей системе 𝐵.

Если бы оно было положительно, то для увеличения 𝑟 надо было бы совершить работу и существовала бы сила 𝑅=𝑑𝑀/𝑑𝑟, стремящаяся уменьшить 𝑟 и вернуть тело 𝐴 в прежнее положение, так что для этого перемещения равновесие было бы устойчивым. Если же, наоборот, оно отрицательно, то сила стремится увеличить 𝑟, и равновесие неустойчиво.

Рассмотрим теперь сферу с центром в начале координат и радиусом 𝑟 столь малым, что при нахождении фиксированной точки тела 𝐴 внутри этой сферы ни одна точка подвижного тела 𝐴 не может совпасть с какой-либо частью внешней системы 𝐵. Тогда, поскольку внутри сферы ∇²𝑀=0, интеграл ∬(𝑑𝑀/𝑑𝑟)𝑑𝑆 по поверхности сферы равен нулю.

Следовательно, если в какой-либо части поверхности сферы 𝑑𝑀/𝑑𝑟 положительно, то должна существовать другая часть поверхности, на которой оно отрицательно, и если тело 𝐴 сместить по направлению, вдоль которого 𝑑𝑀/𝑑𝑟 отрицательно, то оно будет стремиться отклоняться от первоначального положения, так что равновесие тела обязательно неустойчиво.

Таким образом, равновесие тела неустойчиво, даже если тело может двигаться только поступательно; оно тем более неустойчиво для совершенно свободного тела.

Предположим теперь, что тело 𝐴 является проводником. Мы могли бы рассматривать этот случай как равновесие системы тел, считая подвижное электричество частью этой системы. Тогда мы могли бы заключить, что поскольку система является неустойчивой, будучи лишённой многих степеней свободы при фиксировании распределения электричества, то она тем более неустойчива при восстановлении этих степеней свободы.

Но этот случай можно рассмотреть и специально следующим образом.

Пусть сначала распределение электричества на теле 𝐴 фиксировано и тело 𝐴 перемещается поступательно на небольшое расстояние 𝑑𝑟. Обусловленное этим увеличение потенциала тела 𝐴 было уже рассмотрено.

Пусть теперь электрическим зарядам предоставлена возможность переместиться по телу 𝐴 в своё положение равновесия, которое всегда устойчиво. При этом перемещении потенциал обязательно уменьшится на величину, которую мы обозначим через 𝐶𝑑𝑟.

Таким образом, полное увеличение потенциала при нефиксированных электрических зарядах равно [(𝑑𝑀/𝑑𝑟)-𝐶]𝑑𝑟, сила, стремящаяся возвратить тело 𝐴 назад в первоначальное положение, равна (𝑑𝑀/𝑑𝑟)-𝐶 где 𝐶 всегда положительно.

Но мы показали, что для некоторых направлений 𝑑𝑀/𝑑𝑟 отрицательно, следовательно, при нефиксированном электричестве неустойчивость этих направлениях возрастает.

ГЛАВА VII

ФОРМЫ ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЛИНИЙ ИНДУКЦИИ В ПРОСТЫХ СЛУЧАЯХ

117. Мы видели, что нахождение распределения электричества на поверхности проводников можно связать с решением уравнения Лапласа

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

=

0,

где 𝑉 - функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, всюду конечная и непрерывная, обращающаяся в нуль на бесконечности и имеющая заданное постоянное значение на поверхности каждого проводника.

В общем случае не представляется возможным решить существующими математическими методами это уравнение, удовлетворив произвольно заданным условиям, но можно легко привести сколько угодно выражений для функции 𝑉, удовлетворяющей этому уравнению, и найти для каждого выражения форму поверхностей проводников, для которой эта функция является истинным решением.

Таким образом, задача определения формы проводников, соответствующей заданному потенциалу, которую естественно назвать обратной задачей, оказывается более легко решаемой, чем прямая задача определения потенциала при заданной форме проводников.