Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы

39. Поскольку Федя пробежал в четыре раза меньше Коли, его отставание от Коли в три раза больше, чем он пробежал. Отставание равно 6 километрам, значит, он пробежал 2 километра. Коля же пробежал 2 + 6 = 8 километров. С момента старта прошло полчаса. Следовательно, Коля пробежал 8 километров за полчаса. Его скорость, таким образом, равна 16 километрам в час.

40. За сутки камень поднимается на 50 метров. Поэтому после 18 суток камень окажется на высоте 900 метров. После этого Сизиф поднимает его на 100 метров, и камень оказывается на вершине горы. Ответ: 18 суток и день.

41. С начала рабочего дня и до начала следующего рабочего дня сумма денег у Полтинникова увеличивается на 350 рублей (зарабатывает 500 рублей, жена тратит 150, 500 — 150 = 350). Поэтому через 20 дней у него будет 7000 рублей (350 • 20). На следующий день (последний день третьей недели) он идет на работу, зарабатывает 500 рублей и может покупать шубу. Итак, ровно через три недели Иван сможет купить жене шубу. Правда, утром жена не сможет сходить в магазин, так как денег у них не останется.

42. Шут сказал: «Меня повесят».

Теперь королева не сможет ни повесить шута, ни утопить. Если шута повесят, то получается, что он сказал правду. Значит, его должны были утопить, а не повесить. Если же его утопят, то он сказал неправду. И его за это должны были повесить, а не утопить. В обоих случаях получится, что королева не сдержала слова. Поскольку королевы всегда держат свое слово, ей остается только одно — помиловать шута.

43. Да, рядовой Сидоров прав, приказ выполнить невозможно. Должен ли рядовой Сидоров брить самого себя? Если он побреет себя, то получится, что он побрил того, кто бреется сам. То есть Сидоров нарушит приказ. А если он не побреет себя? Тогда Сидоров относится к тем, кто не бреется сам. Значит, Сидоров, согласно приказу, должен был его (то есть себя) побрить, а он не побрил. Опять нарушил приказ.

Эта задача, в более научной формулировке, широко известна в математике и получила название парадокс Рассела. Она относится к целому циклу подобных задач — логических парадоксов. Слово парадокс означает противоречие. Логические парадоксы показывают, что математические задачи важно правильно и грамотно формулировать. Иначе задача может вовсе не иметь решения. Предыдущая задача (про королеву и шута) также является примером логического парадокса. Попробуй сам придумать какой-нибудь логический парадокс.

44. На суде Джон не глядя вытянул одну из бумажек, сказал: «Я выбираю эту!» — и, не разворачивая, тут же положил ее в рот и съел. Судьи были озадачены: как же теперь доказать, что Джон вытянул бумажку с крестом? Им оставалось только одно: вытащить и развернуть вторую бумажку. Она, естественно, была с крестом. «Значит, — сказал Джон судьям, — моя бумажка была без креста!» Судьи вынуждены были согласиться с ним (не могли же они признаться, что подменили бумажки!) и объявили помилование Джону.

45. За 10 секунд рекордсмен пробегает 100 метров, значит, за час (3600 секунд) с такой скоростью он пробежал бы 100 • 360 = 36 000 метров, или 36 километров. Ответ: 36 километров в час.

46. Туда машина едет 2 часа, обратно — 3 часа. Всего она проехала 240 километров. Значит, средняя скорость на всем пути равна 240 : 5 = 48 километров в час.

На первый взгляд, неожиданный ответ, не правда ли? Если машина едет туда со скоростью 60 километров в час, а обратно — 40 километров в час, то почему средняя скорость не 50? Ведь (60 + 40) : 2 = 50. Дело в том, что со скоростью 40 километров в час машина ехала 3 часа, а со скоростью 60 — только 2 часа. То есть медленно она ехала дольше, чем быстро. Поэтому средняя скорость меньше 50. Более того, ответ не зависит от расстояния между деревней и поселком.

47. Если я прохожу 3 километра за полчаса, а профессор Чижиков за час, то моя скорость 6 километров в час, Чижикова — 3 километра в час. Сближаемся мы со скоростью 6 + 3 = 9 километров в час. Значит, 3 километра мы пройдем за 20 минут. Итак, встретимся мы в 10 часов 20 минут. Чижиков за это время пройдет 1 километр. То есть мы встретимся на расстоянии 1 километра от университета.

48. За 15 минут профессор пройдет 750 метров. Затем я выхожу из дома, и мы вместе должны пройти 2250 метров. Так как мы сближаемся со скоростью 9 километров в час, а это в 4 раза больше, чем 2250 метров, то встретимся мы через четверть часа, т. е. через 15 минут после того, как я вышел из дома. Итак, мы встретимся в 10 часов 30 минут. Произойдет это в 1,5 километрах от университета, так как профессор до встречи шел полчаса.

49. а) 9, 37, 101, 203 — простые. 135 делится на 5, 143 =11 • 13.

б) 22 = 2 • 11, 35 = 5 • 7, 64 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2, 89 — простое число, 221 = 13 • 17, 361 = 19 • 19.

50. 437 = 19 • 23. Оба числа (19 и 23) — простые. Поэтому есть только два способа представить 437 в виде произведения двух натуральных чисел: 19 • 23 и 1 • 437. Второй вариант невозможен (одному из братьев было бы 437 лет!). Значит, ответ: 19 лет и 23 года.