Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы

145. Это числа 28 и 16 • 31 = 496. То, что первое число является совершенным, проверить легко. Займемся вторым числом. Его делителями являются 1, 2, 4, 8, 16, 31, 31 • 2 = 62, 31 • 4 = 124, 31 • 8 = 248. Получаем 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.

146. 3 — 2 • 1 = 1,

3 + 1 — 2 = 2,

3 (2 — 1) = 3,

3 + 2 — 1 = 4,

3 + 2 • 1 = 5,

3 + 2 + 1 = 6,

3 • 2 + 1 = 7,

(3 + 1) • 2 = 8,

3 • (2 + 1) = 9.

147. Укажем только неверные с исправлением. 3) (48 + 32) : 16 = 5, 5) 5 + ((18 — 8) : 2) = 10, 6) (26 — 6) : (62 — 60) = 10, 8) (68 — 8) 2 — 4 = 116, 9) (36 : (4 + 5)) • 3 = 12, 11) 48 — ((8 — 6) : 2) = 47, 12) ((25 — 5) • 4) : 10 = 8.

148. 142 857 • 2 = 285 714, 142 857 • 3 = 428 571, 142 857 • 4 = 571 428, 142 857 • 5 = 714 285, 142 857 • 6 = 857 142, 142 857 • 7 = 999 999. 142 857 = 3 • 3 • 3 • 11 • 13 • 37. При разложении на множители числа 142 857 можно воспользоваться последним равенством. 142 857 • 7 = 999 999 = 3 • 3 • 111 111 = 3 • 3 • 3 • 37 037 = 3 • 3 • 3 • 37 • 1001 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 91 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 13 • 7. Значит, 142 857 • 7 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 13 • 7, а 142 857 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 13.

149. Можно воспользоваться способом деления «уголком». В конце получим число 33, к которому надо приписать справа какую-то цифру, чтобы получилось число, которое делится на 37. Так как 111 делится на 37, то и 333 делится на 37. Приписать надо цифру 3.

150. а) Самым меньшим будет число 111 111. Можно также делить «уголком» число, состоящее из одних единиц, и найти первое, которое разделится на 7. б) Самым меньшим будет число, состоящее из 16 (!) единиц. Найти его можно так же: деля число из единиц на 17 «уголком». Конечно, при этом надо суметь не ошибиться.

151. Наименьшим будет число 333 333 331 (8 троек). Самое интересное, что все числа с меньшим числом троек не только не делятся на 17, но и являются простыми.

152. Из решения задачи 150 мы можем получить, что на 7 делятся числа из одних единиц, если количество единиц кратно 6. Точно так же, на 17 делятся числа, у которых количество единиц кратно 16. Значит, число из 48 единиц делится и на 7, и на 17.

153. Возьмем один шарик и будем последовательно прикладывать к нему «уголки» из 3, 5, 7 и так далее шариков, как на рисунке. Будем последовательно получать квадраты со сторонами по 2, 3, 4 и так далее шариков. В первой задаче нам достаточно добраться до большого квадрата со стороной 7. Здесь последним будет «уголок» из 13 квадратиков. Во второй — мы составляем квадрат со стороной 50, последним будет «уголок» из 99 шариков.

154. Можно «честно» найти каждое из произведений и убедиться, что они равны и их разность равна 0. Можно поступить хитрее. Поскольку 7373 = 73 • 101, а 9191 = 91 • 101, каждое из произведений равно произведению трех сомножителей: 73, 91 и 101. Значит, они равны. Выпишем ответы к остальным заданиям: 666 667 • 666 667 = 444 444 888 889; 6 666 667 • 6 666 667 = 44 444 448 888 889; 1 010 111 110 101 : 9091 = 111 111 111; 101 011 111 110 101 : 9091 = 11 111 111 111; 1 100 111 110011 : 9901 = 111 111 111; 110011 111 110011 : 9901 = 11 111 111 111.

155. Деля «уголком», получим, что, приписав справа 1 или 8, получим число, которое делится на 7. То есть в первом пункте два ответа: 200 120 011 и 200 120 018. Во втором пункте так же можно пользоваться способом деления «уголком». Мы же поступим иначе. Разделим число 2 001 200 100 на 56 = 7 • 8 с остатком. Получим 2 001 200 100 = 56 35 735 716 + 4. Впрочем, чему равно неполное частное (это число 35 735 716), не важно. Если мы прибавим к правой части 52, то правая часть будет делиться на 56. Здесь одно решение 2 001 200 152. В третьем случае надо делить (с остатком) число 20 012 001 000 на 7 • 8 • 9 = 504. Здесь остаток равен 96. Поэтому если мы прибавим к нашему числу 504 — 96 = 408 или 408 + 504 = 912, то получим число, которое делится на 7, 8 и 9. Снова два ответа: 20 012 001 408 и 20 012 001 912.

156. 1 километр = 1 000 000 миллиметрам.

157. 1 квадратный метр = 10 000 квадратных сантиметров. 1 кубический метр = 1000 литрам.

158. Площадь поверхности можно измерить в килограммах краски, необходимой, чтобы покрасить эту поверхность.

159. Можно измерить, например, стопку из 100 листов и поделить полученное число на 100.

160. Можно поступить, например, следующим образом. Пометим какой-то участок на поверхности мяча мелом. Затем подкатим мяч к стене так, чтобы он коснулся стенки помеченной мелом частью. На стене получим отметку, находящуюся от пола на расстоянии, равном радиусу мяча.

161. Если у вас есть бочка и камень вмещается в бочку, то можно поступить так. Наполним бочку до краев водой и погрузим в нее камень. Часть воды выльется. Достанем камень и начнем доливать воду в бочку, например, при помощи бутылок, объем которых известен. Долив бочку доверху, мы узнаем объем камня.