Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы

59. На рисунке 12 фигуры в и е не являются многоугольниками. Из оставшихся фигур выпуклым многоугольником является лишь один д. Все остальные — невыпуклые многоугольники. Остается лишь подсчитать число сторон у каждого. Можешь убедиться, что последний многоугольник и в самом деле является стодевяностодевятиугольником.

60. На рисунке 13,а 4 треугольника и 3 четырехугольника. На рисунке 13,б 9 маленьких треугольников, 3 треугольника, состоящих из четырех маленьких, и 1 треугольник большой (из 9 маленьких). Всего 13 треугольников. На этом же рисунке имеется 9 четырехугольников, состоящих из двух треугольников (это ромбы), также 9 четырехугольников из трех треугольников (трапеции), 6 четырехугольников из четырех треугольников (параллелограммы), 3 четырехугольника из пяти треугольников. И наконец, 3 четырехугольника из восьми треугольников. Всего 30 четырехугольников. На рисунке 13,в 16 маленьких треугольников, 6 треугольников, составленных из четырех маленьких, 3 треугольника, составленных из девяти маленьких, и 1 треугольник из всех маленьких. Всего 26 треугольников. На рисунке 13,г 8 треугольников (4 + 4). На рисунке 13,д 16 треугольников (8 из одного треугольника, 4 двойных и 4 из четырех треугольников) и 17 четырехугольников (рис. 67). На рисунке 13,е 26 треугольников (12 из одного треугольника, 10 двойных и 4 из четырех треугольников) и 29 четырехугольников (рис. 68).

                  ^Рис. 67

                  ^Рис. 68

61. См. рисунок 69.

                  ^Рис. 69

62. См. рисунок 70.

                  ^Рис. 70

63. 1 шестиугольник, как на рисунке 71,а, 2 шестиугольника, как на рисунке 71,б, и по четыре, как на рисунке 71,в и г. Всего 11 возможностей.

                  ^Рис. 71

64. На рисунке 72 серым заштрихованы неосвещенные части комнаты, зеленым — освещенные одной лампочкой и белые части, освещенные обеими лампочками.

                  ^Рис. 72

65. Таким многоугольником может являться пятиконечная звезда (рис. 73).

                  ^Рис. 73

66. Можно предложить приятелю спор (пари). Ты можешь положить на пол газету и встать на нее вдвоем с приятелем так, что ни один из вас не сможет дотронуться до другого.

67. Часы вновь покажут точное время, когда они уйдут вперед ровно на 12 часов, или на 12 • 60 = 720 минут. Значит, они покажут точное время через 720 суток, то есть почти через 2 года.

68. Потребуется 10 000 минут. В сутках 24 • 60 = 1440 минут. 10 000 = 1440 • 6 + 1360 = 1440 • 7 — 80. Другими словами, чтобы досчитать до миллиона, нужно почти 7 суток. По нашим подсчетам, на 80 минут или на 1 час 20 минут меньше недели. Чтобы досчитать до миллиарда, даже если до миллиона человек может досчитать за 6 дней, ему потребуется 6000 дней, поскольку 6000 = 365 • 16 + 160, то есть примерно 16 с половиной лет.

69. Как верно подсчитал Федор, «Шайба» выигрывает у «Гайки», «Гайка» — у «Винта», «Винт» — у «Шайбы» с одним и тем же счетом 5:4. Проверьте сами, составив таблицу командных матчей. Это выглядит очень странно, поэтому это полезно обдумать и обсудить.

71. За указанное время — за 12 часов — маленькая стрелка сделает 1 оборот, а большая — 12 оборотов. На 11 оборотов больше. Значит, она 11 раз обгонит часовую стрелку. Столько же раз (11) стрелки будут совпадать. Первый раз большая вновь совпадет с маленькой на втором круге. И затем совпадения будут иметь место на каждом круге большой стрелки.

73. 1111111 > 999 999, поскольку у левого числа 7 единиц, а у правого — 6 девяток. При сравнении второй пары можно перемножить числа слева, но проще «оценить», заменив каждый множитель на меньший (26 > 25, 43 > 40). Значит, 26 • 43 > 25 • 40 = 1000. Также можно поступить и при сравнении следующей пары: 71 > 69, 19 > 18, 117 > 116. Значит, первое число больше второго. В последней паре 5 • 7 = 35 < 36 = 4 • 9, 287 < 289. Следовательно, первое число меньше второго.

75. Центром квадрата является точка пересечения его диагоналей. Что такое центр окружности, объяснено в тексте. Любой отрезок, соединяющий две точки на границе (квадрата или окружности) и проходящий через центр, делится центром пополам. Именно этим свойством и обладает центр фигуры. (Если она имеет центр.) Но у окружности все точки расположены на равном расстоянии от центра, а у квадрата — нет. Вершины квадрата — дальше всего от центра. Середины сторон — ближе всего.

77. Если бы люки имели квадратные крышки и соответственно имели форму квадрата, то крышка могла бы провалиться в люк, так как сторона квадрата меньше его диагонали. Круглая же крышка не может провалиться.

78. Колышки надо вбить на расстоянии больше 12 метров. Если взять расстояние, равное 12 метрам, то будет одна точка, до которой могут дотянуться обе козы. Соответствующие круги являются касающимися.

79. См. рисунок 74, а, б, в. Место, где может пастись коза, в всех случаях закрашено.

                  ^Рис. 74

80. См. рисунок 75, а, б. Место, где может пастись коза, в обоих случаях закрашено.

                  ^Рис. 75

81. См. рисунок 76.

                  ^Рис. 76