Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы

38. Числа должны повторяться через каждые две клетки. Так, число в первой клетке равно числу в четвертой клетке. Ведь если к сумме второго и третьего чисел прибавить первое, то получится тот же результат, что и при прибавлении четвертого. Затем число в четвертой клетке равно числу в седьмой клетке. И так далее. Точно так же равны числа во 2, 5, 8-й и так далее клетках. А также в 3, 6, 9-й, …. Ответ показан на рисунке 64.

                   Рис. 64

39. В первом равенстве справа 99, во втором справа 1, в третьем вновь 99, в четвертом вновь 1 и так далее. Выражение, в котором число 100 встречается 100 раз, равно 1.

40. а) 38 + 19 — 37 + 21 — 18 — 20 = (38 — 37) + (19 — 18) + (21 — 20) = 1 + 1 + 1 = 3. б) (2 + 4 + 6 + … + 100) — (1 + 3 + 5 + … + 99) = (2 — 1) + (4 — 3) + (6 — 5) + … + (100 — 99) = 1 + 1 + … + 1 (50 раз) = 50.

41. В результате должна получиться картинка, изображенная на рисунке 65. Порядок действий определяется начальной картинкой.

                   Рис. 65

42. 17 + 19 + 24 + 15 + 12 = 87. Поскольку в следующей сумме третье слагаемое такое же, а остальные увеличены на 1, то и сумма должна быть на 4 больше, то есть 87 + 4 = 91. Таким же образом получим, что третья сумма 87 — 1 — 1 — 2 — 0 — 1 = 82. Четвертая сумма 87 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 96. Пятая сумма на 3 меньше четвертой. Она равна 93. Шестая на 6 больше пятой. Она равна 99. Седьмая еще на 5 больше шестой. Она равна 104.

43. В первом выражении мы должны сложить шесть семерок и вычесть четыре семерки. Останется сумма двух семерок, то есть 14. Во втором выражении останется сумма 3 и 4. Она равна 7. Последнее выражение равно 0.

44. 13 + 12 + 27 + 19 + 18 + 11 = (13 + 27) + (12 + 18) + (19 + 11) = 40 + 30 + 30 = 100, 3 + 13 + 27 + 7 + 17 + 23 = (3 + 27) + (13 + 7) + (17 + 23) = 30 + 20 + 40 = 90, 24 + 11 + 19 + 17 + 16 + 4 = (24 + 16) + (11 + 19) + (17 + 4) = 40 + 30 + 21 = 91.

45. Вот как мог решить эту задачу маленький Гаусс. Будем объединять первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и так далее. Но сумма первого и последнего (1 + 100), второго и предпоследнего (2 + 99) и всех пар равна 101. Всего пар будет 50. Значит, нужная сумма 50  •  101 = 5050.

46. За одно и то же время Земфира пробегает в 10 раз больше, чем проходит ее хозяин. При этом неважно, как бегает Земфира. Раз хозяин прошел 440 метров, то путь Земфиры равен 4400 метрам, или 4 километрам 400 метрам.

47. Надо провести прямую, соединяющую центры квадрата и круга. (Центр квадрата — это точка пересечения его диагоналей.)

48. Поскольку русский алфавит содержит 33 буквы, средней является буква под номером 17. Это буква «п».

49. Это вопрос: «Где ёж?» (Буквы Г, Д, Е, Ё, Ж следуют в алфавитном порядке.)

50. Это слова «спорт» и «спрут».

51. Каждый год содержит либо 365 дней, либо 366 дней (это високосный год). Разделим 10 000 на 365 с остатком. Получим 10 000 = 365 • 27 + 145. Даже учитывая високосные годы, учительнице исполнилось 27 лет, но нет еще 28 лет. Значит, ей 27 лет.

52. Из того, что сказал дедушка, следует, что этот год не високосный. Посередине будет день под номером 183. 182 дня перед ним — это первая половина года, а 182 дня после — это вторая половина года. Число дней до 1 июля 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 181. Значит, разговор происходил 2 июля. Этот день как раз является 183-м днем обычного года.

53. Пусть наш год обычный. Если 1 января — воскресенье, то 13 января — пятница, а также пятница — 13 октября. Если 1 января — понедельник, то пятницей будут 13 апреля и 13 июля. Если 1 января — вторник, то пятницей будут 13 сентября и 13 декабря. Если 1 января — среда, то пятницей будет 13 июня. Если 1 января — четверг, то пятницей будут 13 февраля, 13 марта и 13 ноября. Если 1 января — пятница, то пятницей будет 13 августа. И наконец, если 1 января — суббота, то пятницей будет 13 мая. Точно так же можно разобраться с високосным годом.

54. Сегодня Васе 8 лет, а Коле 2 года. Разница между ними 6 лет. Она не меняется. Когда Вася будет в 3 раза старше Коли, то на разницу придется два возраста Коли. То есть возраст Коли 3 года, а возраст Васи 9 лет. А когда Коле будет 6 лет, Васе будет 12. В 2 раза больше. Задачу можно решить также простым перебором.

55. Единственное возможное объяснение состоит в следующем. Этот школьник родился 31 декабря. А разговор происходил 1 января, при этом 31 декабря предыдущего года школьнику исполнилось 11 лет. Позавчера, 30 декабря, ему было 10 лет. В этом году ему исполнится 12 лет. А на будущий год ему исполнится 13 лет.

56. «Такая» сабля не сможет быть вложена в «такие» ножны.

57. На рисунке 66 показан возможный способ подвешивания картины (веревка не натянута). Нетрудно убедиться, что если выдернуть любой гвоздь, то картина не сможет висеть.

                   ^Рис. 66

58. Объяснение дано в тексте. Понятно, что невыпуклым является правый четырехугольник.