Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы

5. Просто перед тем, как гости вошли в дом, дедушка незаметно повернул банку.

6. Юрий взял пятый стакан и перелил его во второй. Коснулся он только одного пятого стакана.

7. Всего в слове Навуходоносор 13 букв. Можно выбрать три идущие подряд буквы десятью способами. Первой буквой может быть любая с 1-й по 10-ю буква. Подряд четыре буквы можно выбрать девятью способами, а пять — восемью. Всего сокращенных имен будет 10 + 9 + 8 = 27.

8. 9909. 12 000 + 1200 + 12 = 13 212. Девятьсот восемьдесят семь миллионов шестьсот пятьдесят четыре тысячи триста двадцать один.

9. Первоклассник ответил: «Тридцать первое». Он имел в виду число месяца. Самое большее — это 31-е.

10. В двух случаях пункта б) ответ тот же, что и в пункте а). В первом варианте мы увеличили на 3 первое число и уменьшили на 3 второе. Их сумма не изменилась. А оба следующих числа уменьшили на 1. Во втором варианте надо рассмотреть первое и последнее, а затем второе и третье числа. Во всех случаях один и тот же ответ: 269.

11. Федин отец сначала включил один выключатель (назовем его первым) и некоторое время держал его включенным. Затем он выключил первый, включил второй и поднялся на второй этаж. Одна лампочка горела. Она соответствовала второму выключателю. Одна лампочка из двух оставшихся была теплой. Она соответствовала первому.

14. Запускаем одновременно двое часов. После того как истекли 3 минуты, кладем блин и перевертываем часы, отмеряющие 3 минуты. После того как закончилось пересыпание песка в 5-минутных часах, то есть по истечении еще двух минут, переворачиваем блин, а также часы — и те и другие. Через 2 минуты песок в 3-минутных часах пересыплется вниз. В этот момент вновь переворачиваем часы (и те, и другие) и снимаем блин. Таким образом, переворачивая каждый раз и те, и другие часы, когда где-то полностью пересыплется песок, мы будем отмерять по 2 минуты.

15. У Паши 2 + 1 = 3 сестры (плюс сама Маша) и 2 — 1 = 1 брат (минус он сам).

16. Они тройняшки. У них есть еще третий близнец, сестра или брат.

18. За 6 дней лошадь съест 3 охапки сена, корова — 2 охапки и коза — 1 охапку. То есть вместе они съедят 6 охапок. А одну охапку вместе съедят за 1 день.

20. Сложите три кирпича так, как показано на рисунке 61. И меряйте.

                  ^Рис. 61

21. 9 кур за 3 дня снесут 9 яиц. А 9 кур за 9 дней снесут 9 • 3 = 27 яиц.

23. Решение в тексте после задачи 29.

24. Сделав разрез (вернее, много разрезов) в листе, как изображено на рисунке 62, мы можем затем «растянуть» лист с разрезами и получить нечто вроде большого бумажного кольца. Есть и другие способы сделать разрез с нужным свойством.

                  Рис. 62

26. Число советников равно сумме 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 +1024 = 2047.

27. а) 89, 287, 497, 999, 2766; б) LXXIII, CCLXXXIV, DCCCLXXVI, MMDCLXVI; в) MMMCMXCIX = 3999.

28. 100 квадратных сантиметров.

29. Задание состоит в проверке равенств. Например, проверим последнее. Левая часть (40 + 19) • (40 — 19) = 59 • 21 = 1239, правая часть 40 • 40 — 19 • 19 = 1600 — 361 = 1239.

30. 31 • 29 = (30 + 1) • (30 — 1) = 30 • 30 — 1 • 1 = 900 — 1 = 899, 102 • 98 = 10 000 — 4 = 9996, 204 • 196 = 40 000 — 16 = 39 984, 999 • 1001 = 1000 • 1000 — 1 = 999 999. Выражение 56 789 • 56 789 — 56 790 • 56 788 равно 1, так как 56 790 • 56 788 = (56 789 + 1) • (56 789 — 1) = 56 789 • 56 789 — 1.

31. Если остается 8 палочек, то начинающий проигрывает. Это очевидно. Также начинающий проигрывает, если остается 16 палочек. Ведь сколько бы он ни взял, второй игрок может оставить ему 8 палочек, то есть поставить в проигрышное положение. Точно так же начинающий проигрывает (при правильной игре соперника), если на столе 24, 32 палочки и вообще количество, делящееся на 8. А поскольку ближайшее к 50 число, которое делится на 8, есть 48, начинающий выигрывает. Он должен взять 2 палочки.

32. Решение дано в тексте. Повторяем: первый игрок, начинающий, должен каждый раз уравнивать число палочек в обеих кучках.

33. Заметим, что «плохими» являются числа 1, 3, 7, 15, 31. Если осталась 1 конфета, начинающий проигрывает. Это очевидно. Если имеется 3 конфеты, то начинающий также проигрывает. Он берет одну, а соперник тоже одну. Если имеется 7 конфет, то второй игрок всегда может оставить начинающему 3 конфеты. Также, если имеется 15 конфет, то на любой ход первого игрока второй может оставить ему 7 конфет. То есть «плохое» число. Следующим «плохим» числом является 31. Значит, Карлсон должен взять 1 конфету, чтобы Малыш не мог выиграть. Учитывая любовь Карлсона к сладкому, трудно поверить, что он сделает такой ход (возьмет только 1 конфету). В этой игре жадина проигрывает!

35. Порядок действий задается условием. Главное не запутаться. Последнее равенство должно выглядеть так: 2 + 98 = 100.

36. а) Наибольшее число получим, если вовсе не будет скобок: 31 — 13 + 7 — 5 + 1 = 21. Наименьшее: 31 — (13 + 7) — (5 + 1) = 5.

б) Наибольшее число: 31 — (13 — 7 — 5 — 1) = 31. Наименьшее: 31 — 13 — 7 — 5 — 1 = 5.

37. См. рисунок 63.

                   Рис. 63