Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы

109. Если бы мы не прибавляли 3, а только умножили число на 5, а затем на 2, то результат был таким же, как если бы мы исходное число сразу умножили на 10. А умножение на 10 выполняется простым приписыванием справа 0 (нуля). Но мы после умножения на 5 прибавили 3 и лишь потом умножили на 2. Значит, после первых трех операций мы приписали к нашему числу цифру 6. Затем прибавили 5. Последней цифрой будет 1, то есть на бумажке была написана единица.

110. Через 60 часов в Квашино будет полночь. И солнце светить не может.

111. Перед началом любого матча счет 0:0.

112. Вполне возможно, что карман, куда дедушка опустил карточки, был с хитростью. Например, имел потайное отделение, куда и соскользнули карточки. Из другого кармана дедушка вынул другую стопку карточек. На всех была одна и та же цифра 7.

114. Решение понятно из рисунка 80.

                  ^Рис. 80

116. Решение понятно из рисунка 81.

                  ^Рис. 81

118. См. рисунок 82.

                  ^Рис. 82

119. См. рисунок 83.

                  ^Рис. 83

120. Первые два.

121. Из фигур 3 и 5 на рисунке 34 нельзя сложить поверхность куба.

124. б) Например, так (рис. 84).

                  ^Рис. 84

125. За 1 минуту машина проезжает 1500 метров или 1 километр 500 метров. За 1 секунду она проезжает 25 метров.

126. …60 километрам в час.

127. Объяснение дано в тексте. Внимательно его изучи.

129. а) На рисунке 41 А находится на расстоянии 15 метров от перекрестка. Но 15 = 3 • 5. Когда А пройдет 15 метров, Б пройдет 3 • 7 = 21 метр. Значит, первым пересечет перекресток Б. б) Здесь у А расстояние до перекрестка 4 • 5 = 20 метров, а Б находится на расстоянии 4 • 7 = 28 метров. В этом случае пешеходы одновременно приходят на перекресток. в) Чтобы дойти до перекрестка, Б должен пройти 13 • 7 = 91 метр. За это время А пройдет 13 • 5 = 65 метров. А пересечет перекресток позднее. г) Когда А пройдет 35 метров (7 • 5), Б пройдет 7 • 7 = 49 метров. А осталось еще 3 метра, а Б — 5 метров. Вопрос, кто пройдет эти пути быстрее? Увеличим каждый путь в 5 раз. Получим 15 метров и 25 метров. Но когда А пройдет 15 метров (3 • 5), Б пройдет 21 метр (3 • 7). Значит, в этом случае первым пересекает перекресток А.

130. 1) Скорость Б на 1 метр в минуту больше скорости В. Вначале В опережает Б на 2 метра. Значит, Б догонит В через 2 минуты. 2) Скорость сближения А и Г составляет 11 метров в минуту. Они ползут навстречу и начальное расстояние равно 19 метрам. Понятно, что они встретятся раньше чем через 2 минуты. А именно через 2 минуты Б догонит В. 3) В пересечет перекресток раньше Б. Ведь Б догонит В через 2 минуты, когда та уже преодолеет перекресток. Найдем, за какое время каждая из черепах преодолевает 1 метр, и через какое время после начала движения она доползет до перекрестка. Черепаха А за 1 минуту, или за 60 секунд, проползает 5 метров. Значит, 1 метр она проползет за 12 секунд. У перекрестка она будет через 9 • 12 = 108 секунд. Черепаха В 1 метр преодолевает за 20 секунд и у перекрестка будет через 5 • 20 = 100 секунд. Черепаха Г 1 метр проползает за 10 секунд, и у перекрестка она будет через 100 секунд. Таким образом, первыми одновременно до перекрестка доберутся черепахи В и Г.

132. Поскольку на рисунке не видны входные двери, а эти двери находятся с правой стороны автобуса, а также потому, что движение у нас правостороннее, этот автобус едет в Москву.

133. Если ничего не делать, то на следующий день пруд зарастет полностью. Значит, на расчистку пруда остается всего 1 день.

137. Одна тетрадь или один карандаш должны стоить целое число копеек. При покупке четного числа тетрадей каждого вида и четного числа карандашей общая стоимость покупки должна быть четной (в копейках). Но сумма в несколько рублей и 37 копеек является нечетной. Так быть не может.

138. Нет. Ему не удастся это сделать. Ведь сумма всех данных чисел является числом нечетным, поскольку среди них ровно три нечетных. (Сумма трех нечетных — число нечетное (1 + 3 + 7 = 11). Все остальные числа являются четными.) А нечетное число нельзя представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых.

140. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

141. Ответ: 11 = 1 + 2 + 8, 31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16, 65 = 1 + 64, 156 = 4 + 8 + 16 + 128, 649 = 1 + 2 + 8 + 128 + 512.

142. 117 = 5 • 23 + 2 (неполное частное 23, остаток 2), 231 = 29 • 7 + 28 (неполное частное 7, остаток 28), 288 = 143 • 2 + 2 (неполное частное 2, остаток 2).

143. 288 = 2 • 144 = 2 • 2 • 72 = 2 • 2 • 2 • 36 = 2 • 2 • 2 • 2 • 18 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 9 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3, 343 = 7 • 7 • 7, 275 = 5 • 5 • 11, 1024 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 (10 двоек), 899 = 29 • 31 (можно воспользоваться формулой, о которой было рассказано в задаче 29: 899 = 30 • 30 — 1 = (30 — 1) • (30 + 1) = 29 • 31).

144. 38 = 31 + 7 = 19 + 19, 96 = 89 + 7 = 83 + 13 = 79 + 17 = 73 + 23 = 67 + 29 = 59 + 37 = 53 + 43, 118 = 107 + 11 = … (остальные варианты найди самостоятельно), 128 = 109 + 19 = … (остальные варианты найди самостоятельно).