В лабиринте чисел

И вдруг они непонятным образом опять очутились в знакомом театре. Только на сцене шёл уже другой балет: «Отрицательные и Положительные числа». Чит увидел два бесконечных, развёрнутых по одной прямой, ряда натуральных чисел, которые на первый взгляд отличались только направлением. Один из них протянулся вправо от единицы, другой — влево от неё. Правда, все числа левого ряда были помечены наверху знаком минус. Но оказалось, что как раз из-за этого несчастного минуса натуральными их никак не назовёшь. К натуральным относятся только числа правого ряда, где минусом и не пахнет. Это числа со знаком плюс, хотя пишется он лишь тогда, когда не мешает об этом особо напомнить.

Стало быть, несмотря на обманчивое сходство, ряды разные. Хотя есть между ними и кое-что общее. Числа их одинаково величают Целыми. Только в правом ряду это Целые Положительные числа, а в левом — Целые Отрицательные.

И тут обнаружилось, что на границе двух рядов, между Положительной и Отрицательной Единицами стоит ещё одно число: Нуль! Увидав его, Чит вскрикнул от радости. И то сказать, Нуль на сцене — удача неслыханная! С таким озорником, поди, не соскучишься… К сожалению, выяснилось, что никаких проказ от Нуля на сей раз ожидать не приходится, потому что в этом балете он выступает в роли строгого пограничника, разделяющего Положительные и Отрицательные числа.

Чит спросил: а сам-то нуль к каким числам относится — к положительным или отрицательным?

— Ни к тем, ни к другим, — отвечала Ари, — хотя и к целым.

Тогда Чит разразился новым вопросом: а зачем вообще нужны отрицательные числа?

— Чтобы можно было вычесть из меньшего числа большее.

— Но какой болван станет вычитать из меньшего большее?

— Ты! — засмеялась Ари. — Допустим, уличный градусник показывает 6 градусов выше нуля. Между тем по радио сообщили, что к ночи температура воздуха понизится на 10 градусов. Какая температура будет ночью?

— Четыре градуса мороза.

— Иначе говоря, четыре градуса ниже нуля, или просто минус четыре. Вот ты и вычел из шести десять, то бишь из меньшего числа большее, и получил отрицательное число «–4», которое, как и все отрицательные числа, меньше нуля.

Чит пренебрежительно хмыкнул. Выходит, отрицательные числа только для того и придуманы, чтобы измерять температуру? Но Ари сказала, что не только. Есть в математике такие задачи, где без отрицательных чисел не обойтись, и о них Чит узнает когда следует. А пока не пора ли ему перестать болтать языком и посмотреть наконец на сцену, где как раз начинаются действия с положительными и отрицательными числами.

Вот когда Чит убедился, какие строптивые эти отрицательные числа! Пожалуй, почище нуля. Всё-то у них не так, как у положительных. Начать с того, что положительное число чем дальше от нуля, тем больше, а отрицательное чем дальше от нуля, тем меньше. И вот почему сумма положительных чисел больше каждого из слагаемых, а сумма отрицательных меньше: 2⁺ + 3⁺ = 5⁺; 2^– + 3^– = 5^–. Ведь число 5 отстоит дальше от нуля, чем 2^– и 3^–. Значит, оно меньше их.

То же и при вычитании. Когда из положительного числа вычитается положительное, разность меньше уменьшаемого: 8⁺ – 3⁺ = 5⁺. Когда же из положительного числа вычитается отрицательное, разность больше уменьшаемого: 8⁺ – 3^– = 11⁺. То же и при вычитании из отрицательных чисел. Когда из отрицательного числа вычитается положительное, разность меньше уменьшаемого: 8^– – 3^– = 5^–. А когда из отрицательного числа вычитается отрицательное, разность больше уменьшаемого: 8⁺ – 3⁺ = 5⁺.

Ещё более странные вещи происходят при умножении и делении. Ну, в том, что при перемножении и делении двух положительных чисел произведение получается тоже положительное, ничего удивительного нет: 3⁺ × 5⁺ = 15⁺; 15⁺ : 5⁺ = 3⁺. То, что произведение и частное положительного числа и отрицательного есть число отрицательное, тоже понять можно. Потому что умножение — это ведь просто сложение одинаковых слагаемых: 3^– × 5⁺ = 3^– + 3^– + 3^– + 3^– + 3^– = 15^–, а деление — действие, обратное умножению: 15⁺ : 5^– = 3^–. Но каким образом при перемножении и делении двух отрицательных чисел произведение и частное оказываются вдруг положительными: 3^– × 5^– = 15⁺; 15^– : 3^– = 5⁺? Этого Чит так и не понял! Ари, правда, сказала, что тут он не одинок, поскольку объяснить это и впрямь очень не просто. Так что пусть уж пока поверит ей на слово.

Чит так и сделал, тем более что на сцене в это время происходило нечто из ряда вон выходящее. Две Пятёрки — Положительная и Отрицательная — вышли из своих рядов и медленно двинулись навстречу друг другу под зловещий треск барабанов. Вот они уже почти у пограничной черты… Вот между ними появился знакомый толстый Плюс… Трррах! Раздался оглушительный взрыв. Зрители дружно ахнули… А когда дым от взрыва рассеялся, оказалось, что вместе с ним испарились и обе Пятёрки. Чит спросил: куда они подевались?

— Взаимно уничтожились, — вздохнула Ари. — Так всегда бывает при сложении отрицательных и положительных чисел, которые находятся на одинаковом расстоянии от нуля: 5⁺ + 5^– = 0.

Проценты