В лабиринте чисел

— Чтобы ты убедился в этом на собственном опыте, а заодно познакомился с совсем особыми числами. С такими, значение которых нельзя выразить никаким целым и никаким дробным числом. Эти числа представляют длины таких отрезков, которые несоизмеримы ни с одной единицей измерения. К ним относятся известные уже тебе , и , и , и … Впрочем, таких чисел бесконечное множество, и называются они иррациональными, то есть несоизмеримыми — в отличие от соизмеримых, рациональных.

Последнее слово привело Чита в восторг: он узнал любимое выражение своего папы. Только и слышишь от него: «Воспитывать ребёнка надо рационально!.. Когда мы научимся рационально использовать время?.. В нашем доме понятия не имеют о рациональном питании…» Вот только при чём тут соизмеримость? Но Ари сказала, что ни при чём. Слово «рациональный» происходит от латинского «рацио» — «разум». Но одно и то же слово нередко имеет несколько значений. Вот и слово «рациональный» в обычном смысле означает «разумный», а в математическом — «соизмеримый»…

«Любопытно, знает ли об этом папа? — призадумался Чит. — Обязательно спрошу у него при случае».

Совершенные числа

На эту остановку они попали совсем не так, как на другие. Долго петляли по коридорам, пока не подошли к стене, густо увитой диким виноградом. Ари достала из кармана ключ, нащупала под листьями замочную скважину… Прозвенела нежная, короткая песенка замка… Потом потайная дверца в стене отворилась и впустила их в сад. Но какой! Такие бывают только во сне. Чит даже ущипнул себя, чтобы проверить, не спит ли он на самом деле.

— Что значит эта таинственность? — полюбопытствовал он.

— Только то, что мы попали к самым загадочным числам на свете, — ответила Ари. — К совершенным.

— Так вот почему здесь так красиво! — сообразил он. — Но чем эти числа отличаются от других?

— Тем, что равны сумме своих младших делителей. Вот хоть самое маленькое совершенное число 6. Какие у него делители?

— Один, два, три и шесть.

— Верно. Впрочем, 6 здесь не младший делитель. Младшие — те, что меньше самогó числа. Сложи их — и получишь сумму, равную шести, иначе говоря, самомý числу: 1 + 2 + 3 = 6.

— Как просто! — удивился Чит. — Не понимаю, отчего ты называешь совершенные числа загадочными?

— Где совершенство, там и загадки. Отыскать совершенное число — настоящий подвиг! К IV веку до нашей эры их знали два: 6 и 28. Следующие два — 496 и 8128 — обнаружил Эвклид. Этот выдающийся древнегреческий учёный очень интересовался совершенными числами и даже указал, каким способом их отыскивать. Но сам при этом вычислил всего два. Следующее, пятое совершенное число — восьмизначное — нашлось только через восемнадцать столетий после Эвклида, в XV веке нашей эры; шестое и седьмое — в XVII… При этом с каждым вновь найденным числом значность их поднималась как на дрожжах. Восемнадцатое совершенное число содержит уже около двух тысяч знаков! Между прочим, число это получено в 1957 году с помощью электронно-вычислительной машины. И даже ей потребовалось для этого пять часов. А ведь такие машины считают молниеносно. Иная тратит полтора десятка секунд на то, что опытный математик вычисляет за год.

— Ого! — изумился Чит. — Теперь небось совершенных чисел пруд пруди, раз их отыскивают машины?

— Всего-навсего 24,— сокрушённо вздохнула Ари. — И это при том, что возможности вычислительных машин постоянно растут.

— В чём же дело?

— Ты забываешь, что попутно с возможностями машин возрастает и значность совершенных чисел, а следовательно, и сложность их проверки. Последнее из найденных, двадцать четвёртое совершенное число содержит свыше двенадцати тысяч знаков.

Ух ты! Чит прямо за голову схватился. Можно себе представить, сколько знаков окажется в двадцать пятом! Но Ари сказала, что как раз это представить себе нельзя. Да и только ли это? Кто, например, скажет, конечно или бесконечно множество совершенных чисел? И есть ли на свете нечётные совершенные числа? И каково, в свою очередь, их множество: конечно оно или бесконечно? Этого не знает никто.

— Даже ты? — не поверил Чит.