В погоне за красотой

Итак:

Система аксиом для данной группы основных (первичных) понятий полна, если для любого общего суждения А (любой теоремы), относящегося к данным первичным понятиям, мы на основе этих аксиом можем разрешить вопрос: «Истинно А или ложно?»

Теперь подумайте, что сейчас сказано. Для проверки полноты аксиом мы должны ни много ни мало как доказать или опровергнуть любую мыслимую теорему. Если это проделать, то любая математическая дисциплина будет исчерпана до конца. Исчерпана так же, как игра в «крестики-нолики».

Очевидно, наше требование нереально.

Даже в такой сравнительно простой системе, как шашки, мы не можем точно исследовать основную теорему и ответить на вопрос: каков должен быть результат партии при идеальной игре партнеров?

Тем более мы не знаем, как обстоит дело в шахматах.

И тем более мы не можем предусмотреть и проанализировать все теоремы геометрии, арифметики или вообще любой математической дисциплины.

Посему всю проблему полноты аксиом необходимо формулировать совершенно иначе.

Здесь мы не в состоянии погружаться в глубины высшей математической логики, и поэтому о проблеме полноты «во всей ее полноте» мы ничего не скажем.

Я могу лишь привести красивую и непонятную фразу: система аксиом полна, если любые две ее интерпретации, имеющие реальное содержание, изоморфны.

Причем в порядке рекламы можно добавить, что за красивыми звуками скрыт еще более красивый смысл.

Идея изоморфизма, введенная Гильбертом, одна из самых изящных находок начала XX столетия.

Но что-либо говорить об изоморфизме мы не будем.

Простой же пример, когда было ясно видно, что система аксиом неполна, уже был приведен, и вероятно, читатели без труда смогут придумать еще несколько аналогичных примеров.

Яснее на первый взгляд положение с требованием независимости (или непротиворечивости)^[6].

Снова сформулируем требования независимости совершенно строго.

Пусть у нас есть какая-то группа аксиом — Σ (эта буква обычно используется для обозначения суммы).

Пусть есть какое-то утверждение А.

И противоположное утверждение Ā^[7].

Тогда А независимо от группы аксиом Σ, если ни само А, ни противоположное утверждение Ā им не противоречит.

Иначе говоря, с группой аксиом Σ совместимо как суждение А, так и противоположное суждение Ā.

Все это очень элементарная логика. Но она, вероятно, непривычна. И потому может показаться очень сложной.

Поэтому поясним все на примере с пятым постулатом.

Мы хотим доказать его независимость от остальных аксиом геометрии Евклида («пятый постулат» сейчас — пример нашего суждения А). Мы высказываем утверждение, противоположное пятому постулату («суждение Ā»). Например, мы утверждаем: через данную точку к данной прямой можно провести по крайней мере две параллельные прямые. (Для «популярности» постулат, противоположный пятому, будем записывать вверх ногами «».)

Далее мы доказываем, что «» не противоречит остальным аксиомам геометрии.

Это значит, что как бы далеко и широко мы ни развили возможные следствия, мы никогда не придем к логическому противоречию.

Теперь — внимание! До сих пор все очень ясно.

Но, спрашивается, как убедиться, что мы никогда не сможем прийти к противоречию?

Пусть мы доказали двадцать непротиворечивых теорем.

Это не гарантирует нам, что противоречие не выскочит в двадцать первой.

Доказав сто, можно ожидать подвоха в сто первой…

Доказав тысячу… Короче: ясно, что на этом пути никакого строгого доказательства непротиворечивости получить нельзя. Получить же его необходимо. Без этого задача не решена. Но как будто это абсолютно безнадежная задача. Не видно даже других мыслимых путей, кроме того, что мы описывали. А наш путь заведомо и абсолютно безнадежен.

И здесь остановимся и еще раз потребуем внимания.

Во второй половине XIX века, примерно через 20 лет после смерти Лобачевского и Гаусса, был предложен строгий путь доказательства непротиворечивости неевклидовой геометрии. Путь неожиданный и невероятный.

Мы расскажем о нем позже.

Но ни Лобачевский, ни Гаусс не подозревали о возможностях такого сорта. Запомним: сама возможность принципиально новых идей, с помощью которых можно доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в то время почти столь же невероятна, как возможность определения химического состава звезд.

Столь же немыслима, как опровержение механики Ньютона.

Столь же непредставляема, как термоядерная реакция.

Еще нет ясного представления об аксиоматике. Еще во всех определениях и аксиомах геометрии полный беспорядок, оставшийся в наследство от Евклида.

Почти все из того, что было написано выше, математики еще не сформулировали для себя.

Лишь гениальный Бояи нащупывает правильный путь. Но, боюсь, даже Гаусс не воспринимает полностью его идей.

Есть только полуинтуитивное представление о понятиях независимости и непротиворечивости.

Но тогда…