В погоне за красотой

Правда, я несколько увлекаюсь. Один призрак действительно мог мерещиться Гауссу. Обвинить его в безграмотности, в бездарности, как это выпало на долю Лобачевского, не посмел бы, конечно, никто. Но вот подозрение, что Гаусс, попросту говоря, помешался, такое подозрение могло кое у кого появиться. Ибо консервативность математиков (как и вообще ученых) недооценивать нельзя.

История с неевклидовой геометрией — лучший тому пример.

Еще в семидесятые годы XIX столетия, когда уже все было ясно, когда была доказана непротиворечивость неевклидовой геометрии, когда ее идеи получили блестящее развитие, когда эти идеи были поддержаны и укреплены авторитетом всех крупнейших математиков мира, еще в эти годы многие математики-профессионалы, математики с рангом академиков предлагали все новые и новые доказательства пятого постулата и даже не желали серьезно и объективно задуматься над геометрией Лобачевского.

Кстати, одним из самых последовательных и непримиримых врагов новых идей был тот самый Буняковский, что в 1853 году совершенно игнорировал работы Лобачевского.

Но консерватизм математиков не нужно и преувеличивать.

Гаусс великолепно понимал, что передовая группа ученых, и в первую очередь молодежь, поймет и оценит новые идеи.

Да и не таков был его характер, чтобы отступать перед возможными неприятностями.

Во-первых, пожалуй, основная черта его характера — суровая, требовательная гордость, едва ли не гордыня.

А во-вторых, математику он не предавал. Ей он поклонялся с ледяной страстностью пуританина и для нее пошел бы на все. Так что никакие призраки не остановили бы его.

Второе предположение: «Гаусс не считал проблему столь уж существенной, и у него попросту «не доходили руки» до неевклидовой геометрии» — столь же нелепо.

Это означало бы, что Гаусс не более чем весьма ограниченный математик без настоящей математической культуры.

К тому же в многочисленных письмах Гаусса, где он пишет о неевклидовой геометрии, непрестанно слышишь — это проблема первого ранга; проблема центральная для математики.

Снова остро необходимы риторические вопросы.

Какова же истинная причина?

Почему же Гаусс не обратил к этой теме всю силу и энергию своего поразительного, беспрецедентного таланта? Почему он не исчерпал проблему? Почему он молчал многие годы и в итоге позволил и Лобачевскому и Бояи опередить себя?

Полагаю: доза детектива вполне достаточна, и читатели заинтригованы. Поэтому без лишних слов рассмотрим единственное мыслимое объяснение.

Начнем с некоторого напоминания. Чтобы оно было убедительно, нам необходимо четко представлять постановку всей проблемы неевклидовой геометрии.

Как помните, говоря об аксиомах, аксиоматике, мы условились, что к аксиомам любой математической теории предъявляются лишь два требования — полнота и независимость. Полнота аксиом означает, что любое мыслимое утверждение относительно первичных понятий может быть доказано с их помощью.

Аксиомы позволяют исследовать всё. Чтобы не слишком увлекаться абстрактной логикой, перейдем к конкретным примерам.

Представьте, что двое шахматистов научились игре по учебнику, где по случайности ничего не сказано о ситуации, когда один из игроков при своей очереди хода не может сделать ход, не нарушив правил. При этом его король не атакован вражеской фигурой («королю нет шаха»).

Как видите, понадобилось много слов, чтобы строго определить понятие, известное любому начинающему, — «пат».

Наши игроки окажутся в затруднении. Игру продолжить невозможно. Но чем она закончилась — неизвестно. И они просто будут обязаны ввести какое-то добавочное правило — какую-то аксиому. Если они играли до этого в шашки или «Волки и овцы», то, возможно, рассуждая по аналогии, они условятся, что в этом случае необходимо засчитывать поражение шахматисту, которому поставлен пат^[5].

Но какую-то аксиому они обязаны выбрать.

Их система оказалась неполной.

Она не предусматривала все возможные ситуации.

В другой популярной игре основные понятия (объекты) — футболисты и мяч. Строго говоря, десять полевых игроков, вратарь, судья, боковые судьи, ворота, футбольное поле со всеми его линиями и мяч.

И опять же аксиомы (правила игры) должны быть составлены так, чтобы можно было однозначно судить о любой возможной ситуации для элементарных объектов.

То, что в дворовых матчах обычно не очень ясно представляют полный свод футбольного кодекса, порождает неисчислимое множество драк, что, в свою очередь, убедительно демонстрирует опасность забвения аксиоматики. Хотя, как правило, команды и договариваются перед началом игры о необходимой модификации правил применительно к условиям двора, но полная аксиоматика, даже в такой простой игре, как футбол, — дело довольно хитрое. Отсюда все трагедии.

Наконец, любой уголовный кодекс в принципе должен быть полной системой аксиом, предусматривающей все возможные опасные для общества ситуации.

Как будто намечен ясный путь проверки системы аксиом на «требование полноты».

О, если бы все было так просто, как я только что рассказывал! Математики были бы счастливы.

Позволим себе на мгновение роскошь говорить наивно.