В погоне за красотой

Тогда ясно, что логически доказать «независимость пятого постулата» вообще невозможно. Как далеко ни протянется непротиворечивая цепочка теорем, полученных при помощи «», всегда останется возможность, что противоречие скрыто глубже. Останется ощущение, что мы не добрались до него.

Можно, конечно, «с отчаяния» прибегнуть к «чуждому» для математики пути — подглядеть, что дает эксперимент. Окажись, что во вселенной осуществляется «неевклидова геометрия», — вопрос о непротиворечивости отпал бы сам по себе.

Как помните, Гаусс пытался проверить, чему равна сумма углов треугольника. Независимо от него Лобачевский попросил провести подобные же измерения. У Лобачевского объект был выбран даже более удачно. По его просьбе в Казанской обсерватория измерили углы треугольника, вершинами которого были взяты три звезды. Но в обоих случаях сумма углов оказалась равной π в пределах ошибок эксперимента.

Этот результат ничего не опровергал потому, что даже если евклидова геометрия не осуществлялась в нашем мире, отклонение от π могло быть очень мало.

Но уж тем более он ничего не доказывал.

Итак? Итак, рассуждая строго логически, оставалось одно. Заключить, что вопрос открыт. И вероятно, останется таким навечно. В этом духе и высказался однажды Гаусс. (Разумеется, снова в частном письме.) «Я все более склоняюсь к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть строго доказана. По крайней мере человеческим умом для человеческого ума».

Эту фразу можно прочесть и так. Я не представляю никакой мыслимой возможности доказать, что постулат, обратный пятому («»), не противоречит прочим аксиомам геометрии. И хотя интуиция, конечно, подсказывает Гауссу правильный ответ: неевклидова геометрия столь же непротиворечива, как евклидова, но доказательства нет.

Задача не решена.

Но если так, то совершенно в духе Гаусса не публиковать своих результатов. Он не может рисковать своей репутацией и печатать работу, в которой он не уверен на сто процентов. А идеи, позволяющей рассечь узел, идеи, решающей все, — такой идеи у него нет. А дальше? Дальше вступают в игру факторы, не связанные с чистой наукой непосредственно.

То один, то другой корреспондент (Швейкарт, Тауринус, Бояи) присылает ему письма, в которых более или менее явно высказывает предположение: доказать пятый постулат нельзя и противоположный постулат не противоречит остальным аксиомам Евклида.

При этом по крайней мере для Швейкарта и Тауринуса эта идея куда более смутна, куда более неуклюже оформлена, чем видит все он — Карл Фридрих Гаусс.

Представьте себя на секунду Гауссом. Не так уж просто ответить совершенно прямо и честно. Не так просто подарить свои идеи какому-то Швейкарту, полностью отказаться от затаенной надежды решить когда-нибудь эту проклятую задачу до конца, объяснить положение, посоветовать — развивайте ваши соображения как можно тщательней, как можно полней, чем больше самых разнообразных следствий и теорем вы получите, опираясь на «», тем крепче будет внутренняя вера в его непротиворечивость. Рассмотрите неевклидову тригонометрию, попробуйте вычислять длины кривых в неевклидовой геометрии. Получите, например, выражение для длины окружности.

Гаусс-то знал, какова будет длина окружности в неевклидовой геометрии. Он приводит эту формулу в одном из своих писем.

Но наш «идеальный Гаусс», конечно, не напишет об этом своему корреспонденту.

Он вообще промолчит о своих собственных результатах. Он наметит обширную программу необходимых исследований, поддержит и ободрит младшего коллегу и заключит:

«Мне самому эта идея кажется очень привлекательной. Но, увы, сколько бы вы ни развивали ваши теоремы, в конечном счете вопрос о непротиворечивости неевклидовой геометрии — это вопрос веры. Строгое доказательство получить невозможно. Можно лишь довериться интуиции.

Вероятность ошибки всегда останется. Вы молоды. Ваше имя не канонизировано, вы можете позволить себе печатать глупости. Я настоятельно рекомендую вам посвятить все свои силы этой проблеме. Жду ваших писем».

Не правда ли, мы требуем довольно много от Гаусса?

Много. Но не слишком.

В науке были и подобные люди и подобные случаи. И фраза: «Вы достаточно молоды, чтобы позволить себе печатать глупости» — не придумана. Именно эти слова сказал замечательный человек, педагог и физик Эренфест двум молодым ребятам — Уленбеку и Гаудсмиту, когда те хотели забрать из журнала свою работу. Впоследствии эта работа и оказалась главным, что они сделали в науке. Кстати, им же совершенно бескорыстно отдал важнейшие соображения Эйнштейн, не очень заботясь о своем приоритете.

Но Гаусс не являл идеала научного бескорыстия. Хотя, и это необходимо сказать, он никогда не позволял себе некорректных поступков. Всегда был безукоризненно честен.

Впрочем, если уж судить совершенно придирчиво, — почти всегда.

Потому что в истории с неевклидовой геометрией он никогда не высказался до конца, не объяснил истинную причину, по которой не опубликовал свою работу.

И во всех письмах он настойчиво, по-детски настойчиво объясняет, как он боится несчастных шумливых «беотийцев».