В погоне за красотой

Эйнштейн несколько ехидно, но очень точно заметил, что с аксиомами и Основными Понятиями происходил процесс, аналогичный превращению героев древности в богов. Вместо реальной основы возник «миф о геометрии» — некое смутное представление об аксиомах как о чем-то «неотъемлемо присущем человеческому сознанию, интуиции, духу». Понять смысл последних слов довольно трудно, возможно, потому, что он отсутствует. Но надо сказать, что гипноз абстрагирования был столь велик, что заворожил многих достаточно разумных людей. Среди них были и физики. Можно даже найти имена ученых, явно не лишенных некоторых способностей. Например, Исаак Ньютон.

Его Основные Понятия, открывающие «Начала натуральной философии», — принципиально ненаблюдаемые, непознаваемые.

«Абсолютное пространство» и «Абсолютное время» у Ньютона нечто «неотъемлемо присущее человеческому (а быть может, божественному) сознанию». В этой фразе нет и тени иронии. Она совершенно точно передает содержание понятий «абсолютное пространство» и «абсолютное время».

Так что превращение «героев в богов» не миновало и физику. Но если уж тянуть божественную аналогию дальше, то надо заметить, что ввиду своей некоторой «безалаберности» физики, теоретически признавая и исповедуя религию «абсолюта», практически не обращали на нее никакого внимания. Не делали никаких реальных выводов.

Первым пример подал сам Ньютон.

Сформулировав все свои законы механики для «абсолютов», он использовал их для решения совершенно конкретных реальных задач. Поскольку аксиоматика практически не мешала, на нее, по существу, не обращали внимания.

В этом смысле математики оказались значительно последовательней. Они уже полностью разобрались у себя со всей проблемой аксиоматики, когда физики только-только начали серьезно интересоваться основами своей науки — основами своих представлений о пространстве и времени.

Но зато они сразу продвинулись значительно дальше. Здесь заслуга почти безраздельно принадлежит одному человеку — Эйнштейну.

И примерно в это же время четко оформилось отношение физиков к геометрии. Бессознательно, интуитивно они считали всегда, что вся проблема взаимоотношений геометрии и физики довольно надуманна.

Теперь же позиция была обоснована совершенно строго.

Суть ее в следующем.

Основные Понятия геометрии — абстракция нашего представления о реальных физических предметах. Например: «Твердые тела со сделанными на них отметками при соблюдении некоторых предосторожностей реализуют геометрическое понятие отрезка, лучи света реализуют прямую линию».

Я процитировал сейчас Эйнштейна. Чуть дальше он пишет, что, не придерживаясь этой позиции практически, невозможно было бы подойти к теории относительности.

Но если так, то геометрия — просто одна из глав физики! Первая ее глава!

Пока от того, что мы сейчас сказали, мало что изменилось практически. Мы сбросили Аксиомы и Основные Понятия с пьедестала, свели геометрию к обобщению физических экспериментов, поняли, что справедливость либо несправедливость геометрии — вопрос опыта, но все конкретные утверждения остались неизменны.

А мы помним, что, по существу, и Гаусс, и Лобачевский, и Риман думали как-то похоже. Защищали позиции физика-практика.

Однако если последовательно развивать наши взгляды, то окажется, что мы уже сказали кое-что. И новое, и важное. Более того, наши взгляды неожиданно приводят к некоторым сомнениям в реальной осуществляемости геометрии. На этот раз атака развивается с совершенно новых позиций. Вот с каких.

Одна из основных глав любой геометрии — геометрическая теория измерения. Чтобы развивать геометрию, необходимо математически строго определить понятие длины. Это, естественно, было сделано геометрами. Их определение понятия длины основывается на двух «совершенно разных китах». Последние слова не только правильно передают суть, но и пленяют своей нелепостью, за что и удостоены кавычек.

Итак:

1. Необходим масштабный отрезок, длину которого принимают равной единице.

2. Нужен рецепт измерения, который в геометрии, грубо говоря, сводится к следующему. Надо прикладывать масштабный отрезок к измеряемому и смотреть, сколько раз он уложится. Полученное дробное число «раз» (случайно оно может оказаться и целым) и есть длина измеряемого отрезка.

Так можно измерить, скажем, длину сторон какого-нибудь треугольника. При этом мы молчаливо допускаем, что покоится этот треугольник относительно «масштабного отрезка» или же движется — результат не изменится. Но если мы сказали, что все геометрические объекты есть идеализация реальных физических тел, то слова, сказанные выше, перестают казаться столь ясными.