В погоне за красотой

При поворотах невозможно перевести любую заданную точку круга в любую другую заданную заранее точку. Ну, например, центр круга. При таких преобразованиях он всегда неподвижная точка. Он переходит сам в себя. А аксиомы, определяющие движение, требуют, чтобы при движении любую данную точку можно было перевести в любую другую. Поэтому повороты не могут нас удовлетворить.

Однако необходимые нам преобразования круга есть. Есть!

И это центральный и радостный момент в схеме Клейна.

Он указал бесчисленное множество таких преобразований круга (их называют проективные преобразования), которые переводят круг в точно такой же «новый круг». Любую внутреннюю точку «старого круга» во внутреннюю точку «нового круга». Любую точку контура «старого круга» оставляют на контуре «нового круга».

А хорды «старого круга» переходят в хорды «нового круга».

Эти преобразования круга (на евклидовом языке — проективные преобразования) на неевклидовом языке удовлетворяют всем аксиомам движения.

Например, преобразование хорд на неевклидовом языке означает, что прямые переходят в прямые и т. д.

А теперь можно сделать последний, решающий шаг. И мы его делаем.

Мы объявляем эти преобразования «движением плоскости Лобачевского».

Подведем итог.

Вот она, модель Клейна.

Все свойства проективных преобразований, конечно, известны, но, вообще говоря, нам не нужно их знать. Достаточно принять на веру, что такие преобразования существует.

И — вот она, минута торжества! Если можно объявить круг плоскостью Лобачевского… А это можно, мы доказали это… Если так… Задача решена.

Действительно, пусть, доказывая какую-то теорему в геометрии Лобачевского, мы пришли к противоречию. Допустим это. Но каждая теорема геометрии Лобачевского означает теперь одновременно какую-то теорему геометрии Евклида для нашего круга, его хорд и для проективных преобразований. Каждую теорему мы можем сформулировать на двух языках. И, получив противоречие в геометрии Лобачевского, мы одновременно получим противоречие в евклидовой геометрии.

Конечно, на евклидовом языке это противоречие будет выглядеть по-другому, оно откроется в другой теореме, но это-то совершенно неважно. Важно то, что если в одной геометрии скрыто логическое противоречие, оно скрыто и в другой.

Геометрии равноправны.

И тем самым доказана независимость пятого постулата от остальных аксиом геометрии Евклида.

Все!

Но, как в сказках Шехерезады, в науке конец любой истории — это начало следующей.

И доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского означало для математиков начало колоссального цикла работ по исследованию проблем аксиоматики, по созданию сложнейшего, идеально строгого и абсолютно абстрактного аппарата — математической логики; аппарата, бесконечно далекого от малейших практических приложений, пока не оказалось, что электронно-вычислительные машины… Впрочем, трудно найти более удобный момент для конца наших рассуждений.

И лучше вернемся к модели Клейна, чтобы отметить одно забавное место.

Возьмем две точки внутри нашего круга. Проведем через них хорду. На евклидовом языке расстояние между этими точками равно длине отрезка хорды. Каково оно на неевклидовом языке?

Уже интуитивно ясно, что, во всяком случае, оно не может быть равно длине этого отрезка. Действительно, расстояния между двумя точками на бесконечной плоскости Лобачевского могут быть сколь угодно велики. А «евклидовы расстояния» между точками нашего круга ограничены его диаметром. Ясно, что «неевклидово расстояние» надо определить как-то по-другому. Но как? Ответ легко находится, если вспомнить, как вообще вводится понятие длины в геометрию.

Грубо говоря, это делают так.

Берется масштабный отрезок и посредством преобразования движения совмещается с измеряемым. Длина измеряемого отрезка определяется тем, сколько раз на нем можно отложить масштабный.

Не будем сейчас задерживаться на тонкостях. Нам важно лишь то, что определение равенства отрезков (а следовательно, и понятие длины), как, впрочем, и равенство любых геометрических фигур, определяется при помощи понятия движения.

Так обстоит дело и в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.

Но в нашей модели движение в плоскости Лобачевского на евклидовом языке — проективное преобразование круга. Следовательно, на языке геометрии Лобачевского оказывается, что два отрезка равны, если один переходит в другой при проективном преобразовании. Вспомнив еще, что длина не должна меняться при преобразовании движения, мы понимаем, что «неевклидова длина» должна оставаться неизменной при проективном преобразовании. Как говорят в математике, быть инвариантом преобразования. Такая величина, естественно, известна для проективных преобразований круга. Если учесть еще, что длина суммы двух отрезков должна быть равна сумме длин этих отрезков, то оказывается, что «неевклидово расстояние» определяется однозначно. И конечно, оно ведет себя так, как надо, то есть обращается в бесконечность, когда одна из точек оказывается на контуре круга.

Контур круга соответствует бесконечно удаленным точкам плоскости Лобачевского.