В поисках бесконечности

Но английская пословица гласит, что "каждая семья имеет свой скелет в шкафу" (то есть свои тайны, до поры до времени неизвестные окружающим). Таким скелетом, вываливающимся из шкафа в самые неподходящие моменты, была на протяжении многих тысячелетий развития математики противоречивость самого понятия бесконечности. С тех пор, как эта противоречивость была осознана Зенопом, делались неоднократные попытки снова привести все в норму, причем каждый раз шкаф пытались сделать все прочнее и надежнее. После первой их них, сделанной Евдоксом и Евклидом, прошло два тысячелетия, прежде чем Вейерштрассу и Кантору пришлось предпринимать вторую попытку. И, как мы видели, самые лучшие математики той эпохи считали, что достигнут полный успех. Однако "скелет" оказался на этот раз весьма беспокойным и вновь вывалился из шкафа уже через два с небольшим десятилетия. Как писал по этому поводу Давид Гильберт, "произошло нечто, аналогичное тому, что случилось при развитии исчисления бесконечно малых. На радостях по поводу новых богатых результатов стали явным образом недостаточно критически относиться к законности умозаключений; поэтому уже при простом образовании понятий и применении умозаключений, постепенно ставших обычными, выявились противоречия, сначала единичные, а потом все более серьезные... На учение Кантора с различных сторон были произведены бурные нападки. Контрдвижение было столь стремительно, что общеупотребительнейшие и плодотворнейшие понятия математики, простейшие и важнейшие ее умозаключения оказались под угрозой и применение их запрещалось".

Первым сигналом о неблагополучии в самих основах теории множеств оказался парадокс, открытый впервые самим Кантором в 1895 г. и опубликованный два года спустя итальянским математиком Бурали-Форти[99]. Речь шла о множестве, составленном из всех трансфинитных чисел. По своему определению оно было не хуже, чем любое иное множество, так как являлось многим мыслимым как единое. Но у этого множества оказался существеннейший недостаток. Оно само вполне упорядочено и потому должно выражаться каким-то трансфинитным числом Q. Но тогда Q должно было оказаться больше всех трансфинитных чисел, а потому и больше самого себя, что, очевидно, невозможно.

Как выяснилось позднее, столь же противоречиво и множество, составленное из всех множеств. Ведь этому множеству должны принадлежать все его подмножества, что невозможно, так как множество всех подмножеств любого множества имеет большую мощность, чем само это множество.

Еще один удивительный пример противоречиво определенного множества опубликовал в 1903 г. Бертран Рассел[100]. Как правило, множества не являются своими собственными элементами (например, множество всех натуральных чисел не является натуральным числом, множество всех треугольников не является треугольником и т. д.).

Однако бывают и такие множества, которые содержат себя в качестве одного из своих элементов. Скажем, множество абстрактных понятий само является абстрактным понятием (не правда ли?). Так как такие множества рассматриваются редко, назовем их экстраординарными, а все остальные множества — ординарными.

Образуем теперь множество A, элементами которого являются все ординарные множества. На первый взгляд кажется, что в этом определении нет ничего плохого; не видно, почему фраза "множество всех ординарных множеств" хуже, чем фраза "множество всех треугольников". Но на самом деле здесь возникает серьезное логическое противоречие. Попробуем выяснить, каким же является само полученное множество A — ординарным или экстраординарным. Если оно ординарно, то оно входит в себя как один из элементов (мы ведь собрали вместе все ординарные множества). Но тогда, по определению, оно является экстраординарным. Если же множество A экстраординарно, то по определению экстраординарности оно должно быть своим собственным элементом, а среди элементов множества A есть лишь ординарные множества, экстраординарных множеств мы не брали!

Получилось логическое противоречие — множество A не может быть ни ординарным, ни экстраординарным. Впрочем, такие логические противоречия возникают и в гораздо более простых случаях. Например, одному солдату приказали брить тех и только тех солдат его взвода, которые не бреются сами. Возник вопрос, как ему поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его следует отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить таких солдат он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то его придется отнести к числу солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу он должен себя брить.

Известны и другие примеры, когда множество, на первый взгляд вполне определенное, оказывается определенным очень плохо, а лучше сказать — совсем неопределенным. Например, пусть множество A состоит из всех рациональных чисел, которые можно определить при помощи не более чем двухсот русских слов (включая сюда и слова "нуль", "один", "два" и т. д.).