В поисках бесконечности

Так как множество всех русских слов конечно (для простоты будем считать, что берутся лишь слова из словаря Ожегова и их грамматические формы), то и множество таких чисел конечно. Пусть это будут числа r₁, r₂,..., r_N. Определим теперь рациональное число r следующим образом:

r = 0, n₁, n₂, ..., n_N.

где n_i (i-й десятичный знак числа r) равен 1, если i-й десятичный знак числа r_i отличен от единицы, в противном же случае n_i = 2.

Число r не совпадает с r₁, так как отличается от него первым десятичным знаком, не совпадает с r₂, так как отличается от него вторым десятичным знаком, и т. д. Поэтому число r не входит в множество A. Между тем это число определено нами при помощи не более чем двухсот слов.

С этим парадоксом тесно связан следующий.

Каково то наименьшее целое число, которое нельзя определить при помощи фразы, имеющей менее ста русских слов?

Такое число существует, поскольку число слов в русском языке конечно, а значит, есть числа, которые нельзя определить фразой, имеющей менее ста слов. Но тогда среди этих чисел есть наименьшее.

С другой стороны, такого числа не существует, ибо оно определяется фразой из менее чем ста слов, напечатанной выше курсивом, а по смыслу этой фразы оно не может быть определено подобным образом.

А вот более сложный пример конечного множества, относительно которого оказывается невозможным сказать, содержит ли оно данный элемент. Разделим все прилагательные в русском языке на два класса. К первому классу отнесем все прилагательные, для которых выражающее их слово само обладает свойством, описываемым этим прилагательным, а ко второму — все остальные прилагательные. Например, прилагательное "русское" отнесем к первому классу, так как слово "русское" принадлежит к словарному запасу русского языка. К тому же классу отнесем и прилагательное "пятисложное", так как в слове "пятисложное" именно пять слогов. А прилагательное "немецкое" отнесем во второй класс, так как слово "немецкое" входит в словарный состав русского, а не немецкого языка. Во второй класс попадет и слово "односложное", так как в этом слове не один, а пять слогов. Туда же попадет и слово "синее", так как это слово само цветом не обладает, а только выражает некоторый цвет.

Казалось бы, все в полном порядке и каждое прилагательное нашло свое место. Но, для того чтобы отличить полученные два класса друг от друга, введем еще два прилагательных. Назовем все прилагательные первого класса автологичными (от греческих слов авто — сам и логос — смысл, закон), а прилагательные второго класса гетер о логичными (гетерос — другой). Слова автологичный и гетерологичный являются прилагательными, и их надо разместить по нашим классам. Со словом автологичный трудностей не возникает — его надо отправить в первый класс, и тогда оно будет обладать именно тем свойством, которое само выражает,- ведь в первом классе собраны именно автологичные слова. А вот слово гетерологичный доставляет те же трудности, что и взводный парикмахер.

Это слово нельзя отнести в класс автологичных слов, так как тогда слово гетерологичный должно было бы само обладать выражаемым им свойством, а оно заключается в том, что этому слову надлежит быть не в первом, а во втором классе. Нельзя отнести слово гетерологичный и во второй класс, так как тогда оно должно было бы не обладать выражаемым им свойством гетерологичности, а потому быть автологичным, в то время как второй класс не содержит авто логичных слов.

Эти и аналогичные им парадоксы восходят к древнему парадоксу "Лжец", который приписывают греческому философу Евбулиду из Милета. Он состоит в том, что человек, говорящий "я лгу", не может быть ни говорящим правду, ни лжецом: если, произнося эти слова, он говорит правду, то он лжет, а если он, произнося эти слова, лжет, то он говорит правду.

Конечно, проще всего было бы сказать, что в теории множеств не рассматриваются столь причудливые множества. Однако, если не дать точного определения, какие же множества следует рассматривать, а какие отбросить, можно оказаться в положении человека, который, беседуя с длинноносым собеседником, сказал, "говоря о носах, я не имею в виду столь несуразно длинные". Это далеко не лучший способ избежать щекотливой темы.

Одна задача почему-то не выходит.