В поисках бесконечности

Представьте себе, что перед вами лежат несколько кучек яблок. Ясно, что можно выбрать по одному яблоку из каждой кучки и сложить их в новую кучку. Казалось бы, то же самое можно сделать и в случае, когда каждая кучка содержит бесконечно много яблок, а самих кучек тоже бесконечно много. В этом и состоит аксиома выбора: Если дало бесконечное множество бесконечных множеств, то из каждого множества можно выбрать по одному элементу, не указывая заранее закона выбора.

Вот в этих-то последних словах все дело — аксиома выбора приводит к совершенно неконструктивным доказательствам: удается, например, доказать, что не может быть, чтобы множество нельзя было вполне упорядочить, но никакого конкретного способа упорядочения из этого доказательства не извлекается. Долгие годы математики пользовались аксиомой выбора, считая ее совершенно очевидной. Но когда над ней стали глубже задумываться, она стала казаться все более и более загадочной. Многие из теорем, доказанных с ее помощью, совершенно противоречили наглядности. Поэтому Бертран Рассел так высказался о ней. "Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься в нее, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы: под конец же перестаешь понимать, что же она означает".

А Лузин признавался: "Я дни и ночи думаю над аксиомой Цермело. Если бы только кто-нибудь знал, что это за вещь!"

Здесь поневоле вспоминаются слова Мефистофеля из "Фауста" Гете:

Понять ее пытаться — труд напрасный,
Глупец и умный с толку будет сбит
Противоречий массою ужасной.

Правда, к противоречиям эта аксиома не приводила, но непонятных следствий из нее можно было получить сколько угодно.

Из одного яблока — два.

Расскажем об одном из самых удивительных следствий аксиомы выбора. Вам, вероятно, приходилось наблюдать, как работает на эстраде ловкий фокусник. Вот он показал зрителям пустой мешочек, потом опустил туда шарик, а вынул... два; опустив два шарика, он вынимает четыре, опустив четыре, вынимает восемь. Конечно, все понимают, что здесь нет никаких чудес, а только, как говорится, ловкость рук. Но в теории множеств такие чудеса бывают.

Возьмем самое обычное яблоко и разрежем его любым образом на четыре части. Кажется ясным, что если взять только две из этих частей, то из них нельзя составить целое яблоко (точно так же, как, съев половину апельсина, нельзя составить из оставшихся долек целый апельсин).

Однако математикам удалось так разбить шар на четыре равные части, что из двух частей можно составить целый шар того же радиуса, ничего к ним не прибавив, а только двигая их, как твердые тела. Из двух других частей можно составить второй точно такой же шар. Таким образом, из одного шара получилось два равных ему шара.

Разумеется, это утверждение имеет чисто теоретическое значение, и надеяться сделать с его помощью из одного яблока два, а потом из двух — четыре и т. д. было бы по меньшей мере наивно. Ведь это противоречило бы закону сохранения материи. Но математика изучает не непосредственно материальный мир, а лишь его математические модели. Поэтому если получаются результаты, противоречащие физической интуиции, то ответственность за это несет не математическая наука, а неудачный выбор модели.

Поэтому наш странный результат, как и некоторые другие парадоксальные выводы из аксиомы выбора, показывает лишь, что к ней надо относиться с известной осторожностью. Некоторые математики стараются четко отделять утверждения, при выводе которых была использована эта аксиома, от остальных. Но, как это ни печально, некоторые фундаментальные утверждения математического анализа нельзя доказать без ссылки на эту злополучную аксиому.

Квинтет демонов.

Одной из причин, по которой виднейшие математики отказались поверить в возможность полного упорядочивания континуума, было именно отсутствие какой-либо обозримой конструкции для такого упорядочивания. В связи с этим возникло оживленное обсуждение вопроса, что же значит в математике слово "существует". Означает ли это выражение, что соответствующий математический объект допускает определенную конструкцию или можно рассматривать и множества, существующие лишь в силу аксиомы выбора? Какой смысл имеет понятие множества всех подмножеств континуума, если мы не можем описать конструктивно большую часть этих подмножеств? После некоторого "инкубационного периода" болезнь вышла наружу и в 1905 г. известнейшие французские математики (Адамар, Борель, Бэр[103], Лебег) опубликовали свою переписку о том, что такое бесконечность и какие бесконечные множества следует считать существующими. Этими же вопросами усиленно занимались Гильберт и молодой голландский математик Брауэр.