В поисках бесконечности

Открытие парадоксов теории множеств произвело глубочайшее впечатление на математиков. Если, например, Пуанкаре до этого положительно относился к теории Кантора, то после опубликования теоретико-множественных парадоксов он стал насмешливо отзываться о ней, заявляя, что актуальной бесконечности не существует. Фреге, получив от Рассела письмо, содержавшее его парадокс, оказался вынужден сделать к выходившей уже из печати книге замечание, по сути дела зачеркивающее все ее содержание. Особенно тяжело отразилось открытие парадоксов на самом Канторе — он погрузился в размышления о том, как их устранить и, не достигнув в этом успеха, тяжело заболел и прекратил научную деятельность за много лет до смерти. Гильберт восклицал: "Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности,- образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?"

Но на фоне триумфальных успехов математического анализа, основанных на теоретико-множественных концепциях, у большинства математиков выявленные парадоксы теории Кантора не вызывали вначале никакой тревоги, кроме разве что некоторого беспокойства за самые окраинные области математики.

Значительно большей неприятностью оказалось возникновение в теории множеств проблем, не получавших разрешения на протяжении длительного времени. Многие из них были связаны с казавшейся уже навсегда преодоленной пропастью между дискретным и непрерывным, арифметикой и геометрией. Из двух главных видов мощностей, изученных Кантором,- счетной и континуальной — первая шла от арифметики, от понятия натурального числа, а вторая — от понятия континуума, от непрерывности. И, естественно, возник вопрос о взаимоотношении этих мощностей.

Наиболее естественным было предположение, что мощность континуума непосредственно следует за счетной, то есть что не может быть несчетного множества, мощность которого меньше континуальной. Если бы эта гипотеза оказалась верной, мощность континуума заняла бы свое место и на шкале трансфинитных чисел, она выражалась бы первым трансфинитным чистом, идущим за всеми трансфинитными числами счетного типа. Мощность всех счетных трансфинитных чисел получила название алеф первый, и вопрос состоял в том, равна ли этому алефу мощность континуума. Этот вопрос получил название проблемы или гипотезы континуума, и над ним долгие годы думал Георг Кантор. Много раз ему казалось, что проблема решена, однако все попытки в конце концов оказались безуспешными.

Не большего успеха добились и другие ученые, пытавшиеся доказать или опровергнуть гипотезу континуума, и она по праву занимала первое место в списке проблем Гильберта. В течение долгих лет думал о ней Н. Н. Лузин, но и от него решение ускользало, как мираж в пустыне.

Однажды к Лузину привели пятнадцатилетнего мальчика Льва Шнирельмана[101], обладавшего исключительными математическими способностями. Чтобы проверить способности юного математика, Н. Н. Лузин предложил ему тридцать труднейших задач. Решения 29 задач он знал, а одной была... проблема континуума. Но, увы, через неделю молодой математик пришел к Лузину и грустно сказал: "Одна задача почему-то не выходит".

Отчаявшись в решении этой проблемы, Лузин говорил своим ближайшим ученикам, что не знает, почему континуум должен обязательно совпадать с алефом первым. "Кто знает,- грустно шутил он,- может быть континуум вообще окажется алефом семнадцатым".

Позднее обнаружились другие проблемы, которые никак не удавалось решить в рамках обычной теории множеств. Среди них были и различные обобщения гипотезы континуума, а также различные ее видоизменения, были и иные предположения, которые также не удавалось ни доказать, ни опровергнуть.

Непонятная аксиома.

Неудача, постигавшая всех ученых, думавших над проблемой континуума, привела к тому, что возник вопрос, а можно ли вообще вполне упорядочить множество точек отрезка, есть ли у континуума вообще место на шкале трансфинитных чисел. Кантор с 1883 г. был убежден в том, что ответ на этот вопрос положителен. По его мнению, любое множество, а не только континуум можно было вполне упорядочить. Однако и здесь ему никак не удавалось найти подходы к проблеме.

Неожиданно простое и короткое решение опубликовал в 1904 г. Цермело[102], которому удалось доказать возможность полного упорядочивания любого множества. Однако не все математики согласились с ним. И дело было не в том, что Цермело допустил где-то ошибку в рассуждениях. Он рассуждал совершенно логично и даже подчеркнул, что в ходе доказательства было использовано одно утверждение, которым математики широко пользовались и до того, хотя и не высказывали в явной форме. Это утверждение, названное впоследствии аксиомой выбора или аксиомой Цермело, заключается в следующем.