Величайшие математические задачи

Может показаться, что мы выплеснули с водой и ребенка, ведь топология должна иметь дело с геометрией на резиновом листе, а не с жесткой геометрией. Но теперь мы легко можем вернуть резину на место. Жесткая геометрия используется здесь только для того, чтобы определить стандартные поверхности. Она позволяет дать простые описания, которые оказываются еще более жесткими. А теперь ослабим жесткость, т. е. позволим пространству стать резиновым и разрешим деформироваться, что невозможно при жесткой структуре. При этом мы получим поверхности, топологически эквивалентные стандартным, но не получаемые из них путем жестких сдвигов. Согласно теореме о классификации, таким образом можно получить любую топологическую поверхность.

Топологи знали о существовании такой связи между геометрией и теоремой о классификации поверхностей, но в то время она представлялась забавным совпадением, дающим, несомненно, весьма ограниченные возможности в двух измерениях. Все понимали, что трехмерный случай намного богаче и, в частности, пространствами постоянной кривизны его возможности не исчерпываются. Но понять, что жесткая геометрия может оказаться полезной при рассмотрении трехмерной топологии, сумел лишь Уильям Терстон — один из лучших геометров мира. Несколько указаний на это уже имелось: трехмерная сфера Пуанкаре, исходя из ее определения, обладает естественной эллиптической/сферической геометрией. Хотя стандартный додекаэдр обитает в евклидовом пространстве, угол между его смежными гранями меньше 120°, так что три таких угла не образуют полной окружности. Чтобы исправить это, нам придется слегка надуть додекаэдр, чтобы его грани стали немного выпуклыми: это сразу превращает естественную геометрию фигуры из евклидовой в сферическую. Аналогично, треугольники на сфере тоже становятся выпуклыми. Трехмерный тор, полученный путем отождествления противоположных граней куба, обладает плоской, т. е. евклидовой, геометрией, в точности так же, как его двумерный аналог. Макс Ден и другие исследователи открыли несколько трехмерных топологических пространств, обладающих естественной гиперболической геометрией.

У Терстона появились первые подозрения о возможности существования общей теории, но, чтобы она обрела хотя бы относительную правдоподобность, требовались два нововведения. Во-первых, необходимо было расширить диапазон трехмерных геометрий. Исходя из здравого смысла, Терстон сформулировал некоторые условия и выяснил, что им удовлетворяет ровным счетом восемь геометрий. Три из них — это классика: сферическая, евклидова и гиперболическая геометрия. Еще две напоминают цилиндры: плоские в одном направлении, изогнутые в двух других. Изогнутая часть имеет либо положительную кривизну, как у двумерной сферы, либо отрицательную, как у гиперболической плоскости. Наконец, есть еще три, достаточно формальные, геометрии.

Во-вторых, было ясно, что некоторые трехмерные пространства не поддерживают ни одну из восьми геометрий. Но нашелся и выход: разрезать пространство на куски. Один кусок, возможно, обладает сферической геометрической структурой, другой — гиперболической и т. д. Чтобы разрезание было полезным, его надо проводить по очень строгим правилам, чтобы обратный процесс — собирание кусков в единое целое — позволил получить полезную информацию. Хорошей новостью стало то, что во многих случаях это возможно. В 1982 г. Терстон в приступе вдохновения сформулировал гипотезу о геометризации: любое трехмерное пространство может быть разрезано на куски, каждый из которых обладает естественной геометрической структурой, соответствующей одной из восьми возможных геометрий. Он доказал также, что если его гипотеза о геометризации верна, то гипотеза Пуанкаре окажется простым ее следствием.